Bestimme eine Orthonormalbasis für den Untervektorraum

Question

Aufgabe:

Bestimme eine Orthonormalbasis (bzgl. des Standardskalarprodukts auf \( \mathbb{R}^{5} \) ) für den Untervektorraum
\( V=\left\{\underline{x}=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{5}: x_{1}+3 x_{4}-x_{5}=0, x_{1}-2 x_{2}+x_{3}-x_{5}=0\right\} \)

Problem/Ansatz:

Verstehe diese Aufgabe nicht und brauche bitte eure Hilfe.

Answer 1

Aloha :)

Wir vereinfachen zuerst das Gleichungssystem für die 5 Koordinaten:$$\begin{array}{rrrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & = & \text{Aktion}\\\hline1 & 0 & 0 & 3 & -1 & 0 &\\1 & -2 & 1 & 0 & -1 & 0 &-\text{Zeile 1}\\\hline1 & 0 & 0 & 3 & -1 & 0 &\\0 & -2 & 1 & -3 & 0 & 0 &\end{array}$$

Wir haben 2 Spalten mit lauter Nullen und geneu einer Eins. Wir stellen die beiden Gleichungen nach den entsprechenden Variablen um:$$x_1=-3x_4+x_5\quad;\quad x_3=2x_2+3x_4$$sodass wir alle Vektoren aus \(V\) wie folgt angeben können:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3x_4+x_5\\x_2\\2x_2+3x_4\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=x_2\underbrace{\begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\\0\end{pmatrix}}_{=\vec b_1}+x_4\underbrace{\begin{pmatrix}-3\\0\\3\\1\\0\end{pmatrix}}_{=\vec b_2}+x_5\underbrace{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}_{=\vec b_3}$$

\(\vec b_1\) und \(\vec b_3\) sind bereits orthogonal zueinander. Wir müssen daher nur von \(\vec b_2\) dessen Projektion auf \(\vec b_1\) und \(\vec b_3\) subtrahieren:

$$\vec b_{2\perp}=\vec b_2-\left(\frac{\vec b_2\cdot\vec b_1}{\vec b_1\cdot\vec b_1}\right)\vec b_1-\left(\frac{\vec b_2\cdot\vec b_3}{\vec b_3\cdot\vec b_3}\right)\vec b_3$$$$\phantom{\vec b_{2\perp}}=\begin{pmatrix}-3\\0\\3\\1\\0\end{pmatrix}-\frac65\begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\\0\end{pmatrix}+\frac{3}{2}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\[1ex]-\frac65\\[1ex]\frac35\\[1ex]1\\[1ex]\frac{3}{2}\end{pmatrix}=\frac{1}{5\cdot2}\begin{pmatrix}-15\\-12\\6\\10\\15\end{pmatrix}$$

Alle 3 orthogonalen Basisvektoren normiert, liefert eine mögliche Orthonormalbasis:$$\text{Basis}(V)=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\\0\end{pmatrix};\frac{1}{\sqrt{730}}\begin{pmatrix}-15\\-12\\6\\10\\15\end{pmatrix};\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$

Comments

vielen dank für deine antwort :)

war sehr hilfreich

Answer 2

Lösungsraum von

\(x_{1}+3 x_{4}-x_{5}=0 \) und  \( x_{1}-2 x_{2}+x_{3}-x_{5}=0 \)

ist dreidimensional, also wähle etwa

\( x_{1}= r  ,  x_{2}=s   , x_{3}=t \) und erhalte so aus der 2. Gl.

\( r-2s+t=x_{5} \)  und damit aus der 1.

\(s+3 x_{4}-(r-2s+t)=0 \)  also \(x_{4}=r/3 - s + t/3 \)

Dann sehen die Lösungen so aus:

\(\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}\right) =   \left(\begin{array}{l} r \\ s \\ t \\ r/3 - s + t/3 \\ r-2s+t\end{array}\right) \)

\( =  \left(\begin{array}{l} r \\ 0 \\ 0 \\ r/3  \\ r\end{array}\right) +  \left(\begin{array}{l} 0 \\ s \\ 0 \\ - s  \\ -2s\end{array}\right)+  \left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ t \\  t/3 \\ t\end{array}\right)\)

\( = r/3 \left(\begin{array}{l} 3\\ 0 \\ 0 \\ 1  \\ 3\end{array}\right) +  s\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - 1  \\ -2\end{array}\right)+  t/3\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 3 \\  1 \\ 3\end{array}\right)\)

Hier hast du  3 mögliche Basisvektoren und wendest darauf

das Gram-Schmidt Verfahren an.

Comments

vielen lieben dank für deine antwort :)