Aloha :)$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{x\ln(9)} &\text{falls }1\le x\le9\\[1ex]0 &\text{sonst} \end{array}\right.$$
Wir machen uns das Leben leicht und folgen dem Hinweis, bilden also zuerst die Verteilungsfunktion \(F(x)\) durch Integration über die Dichtefunktion. Beachte, dass \(x\) nun als obere Grenze im Integral auftritt und ich zur Unterscheidung als Integrationsvariable \(t\) gewählt habe:$$F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)\,dt=\int\limits_1^x\frac{1}{\ln(9)}\cdot\frac1t\,dt=\frac{1}{\ln(9)}\cdot\left[\ln|t|\right]_{t=1}^x=\frac{1}{\ln(9)}\cdot\left(\ln|x|-\ln(1)\right)$$Die Betragszeichen um \(|x|\) können entfallen, weil \(x\in[1;9]\). Weiter ist \(\ln(1)=0\).
Wir berücksichtigen noch ausdrücklich, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte \(f(x)\) nur für \(x\in[1;9]\) von Null verschieden ist und fassen alles in der Verteilungsfunktion zusammen:$$F(x)=\left\{\begin{array}{cl}0 &\text{falls } x<1\\[1ex]\frac{\ln(x)}{\ln(9)} &\text{falls }1\le x\le 9\\[1ex]1 &\text{falls }x>9\end{array}\right.$$
Mit \(P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)\) kannst du nun die ersten Fragen beantworten:$$\text{a) }F(4,1)=\frac{\ln(4,1)}{\ln(9)}\approx0,642168$$$$\text{b) }P(X=7)=P(7\le X\le 7)=F(7)-F(7)=0$$$$\text{c) }P(X>11,6)=1-P(X\le11,6)=1-F(11,6)=1-1=0$$$$\text{d) }P(3,5\le x<8,4)=F(8,4)-F(3,5)\approx0,968600-0,570157=0,398443$$
Bei Teil (e) soll das \(x_{0,7}\) bestimmt werden:$$0,7\stackrel!=P(X\le x_{0,7}=F(x_{0,7})=\frac{\ln(x_{0,7})}{\ln(9)}\implies\ln(x_{0,7})=0,7\cdot\ln(9)\implies$$$$x_{0,7}=e^{0,7\cdot\ln(9)}=9^{0,7}\approx4,655537$$
Für den Erwartungswert in Teil (f) musst du nochmal integrieren:$$E(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)\,dx=\int\limits_1^9x\cdot\frac{1}{x\cdot\ln(9)}\,dx=\int\limits_1^9\frac{1}{\ln(9)}\,dx=\left[\frac{x}{\ln(9)}\right]_1^9=\frac{9-1}{\ln(9)}$$$$E(X)=\frac{8}{\ln(9)}\approx3,640957$$
