Zeigen Sie Nullstelle stetiger Funktionen

Question

Aufgabe:

c) Seien \( a<b \) und \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig mit \( f(a)=b \) und \( f(b)=a \). Zeigen Sie: Dann gibt es ein \( x_{*} \in(a, b) \) mit \( f\left(x_{*}\right)=x_{*} \).

Problem/Ansatz:

Verstehe nicht wie ich hier vorgehen soll

Answer 1

Hallo,
betrachte mal die Funktion \(g:[a,b]\to\R\) mit \(g(x):=f(x)-x\). Da \(f\) stetig ist, ist auch \(g\) stetig. Weiter gilt für \(x\in[a,b]\): $$f(x)=x\Leftrightarrow g(x)=0$$

Es reicht also ein \(x_\star\in(a,b)\) zu finden, sodass \(g(x_\star)=0\).
Hast du dafür eine Idee?