Zeigen Sie, dass in dieser Situation die Elemente eine Basis bilden

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Kann da jemand helfen?

Danke im voraus für jede Hilfe

Text erkannt:

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $U \subseteq V$ ein Untervektorraum. Weiterhin sei $u_{1}, \ldots, u_{m}$ eine Basis von $U$. Dann gibt es nach dem Basisergänzungssatz ein $n \in \mathbb{N}_{0}$ und Vektoren $v_{1}, \ldots, v_{n} \in V$, so dass $u_{1}, \ldots, u_{m}, v_{1}, \ldots, v_{n}$ eine Basis von $V$ ist.
Zeigen Sie, dass in dieser Situation die Elemente $v_{1}+U, \ldots, v_{n}+U$ eine Basis von $V / U$ bilden.

Answer 1

dim V = m+n und dim U = m ==>   dim ( V/U) = (m+n)-m = n.

Die Anzahl der Basiselemente stimmt also schon mal.

Und lin. unabhängig sind die auch, denn seinen a1,...,an ∈ K mit

$a_1 \cdot (v_{1}+U)+ \ldots + a_n\cdot (v_{n}+U ) = 0$  in V/U

==>  Es gibt $w_{1}, \ldots, w_{n} ∈ U$ mit

$a_1 \cdot (v_{1}+w_1)+ \ldots + a_n\cdot (v_{n}+w_n )$

ist ein Element von U . ( Das ist ja die 0 in V/U .)

==> $a_1 \cdot v_{1}+ a_1 \cdot w_1+ \ldots + a_n\cdot v_{n} + a_n\cdot w_n$  ∈ U

also gibt es ein u∈ U mit

$a_1 \cdot v_{1}+ a_1 \cdot w_1+ \ldots + a_n\cdot v_{n} + a_n\cdot w_n = u$

umsortiert:

$a_1 \cdot v_{1}+ \ldots + a_n\cdot v_{n} = u - a_1 \cdot w_1 - \ldots - a_n\cdot w_n$

Nun steht links ein Element aus der lin. Hülle von   $v_1,\ldots,v_{n}$

und rechts eines aus U. Da $v_1,\ldots,v_{n}$ die Basis von U zu

einer Basis von V ergänzt, haben die lin. Hülle von $v_1,\ldots,v_{n}$

und U aber nur den Nullvektor gemeinsam, also gilt

$a_1 \cdot v_{1}+ \ldots + a_n\cdot v_{n} = 0$ und wegen der

lin. Unabhängikeit von   $v_1,\ldots,v_{n}$ sind alle a_i = 0. q.e.d.

Answer 2

$a_1(v_1+U)+\cdots + a_n(v_n+U)=U\Rightarrow$

$(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)+U=U$, also

$a_1v_1+\cdots+a_nv_n=b_1u_1+\cdots+b_mu_m$ mit gewissen

$b_1,\cdots,b_m \in K$, daher

$a_1v_1+\cdots+a_nv_n+(-b_1)u_1+\cdots+(-b_m)u_m=0$.

Da $u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n$ eine Basis von $V$ bilden,

bekommt man $a_1=\cdots=a_n=0$ und wegen $dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)=n$

folgt die Behauptung.