Zeigen Sie, dass in dieser Situation die Elemente eine Basis bilden

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Kann da jemand helfen?

Danke im voraus für jede Hilfe

Text erkannt:

Es sei \( V \) ein endlichdimensionaler \( K \)-Vektorraum und \( U \subseteq V \) ein Untervektorraum. Weiterhin sei \( u_{1}, \ldots, u_{m} \) eine Basis von \( U \). Dann gibt es nach dem Basisergänzungssatz ein \( n \in \mathbb{N}_{0} \) und Vektoren \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \), so dass \( u_{1}, \ldots, u_{m}, v_{1}, \ldots, v_{n} \) eine Basis von \( V \) ist.
Zeigen Sie, dass in dieser Situation die Elemente \( v_{1}+U, \ldots, v_{n}+U \) eine Basis von \( V / U \) bilden.

Answer 1

dim V = m+n und dim U = m ==>   dim ( V/U) = (m+n)-m = n.

Die Anzahl der Basiselemente stimmt also schon mal.

Und lin. unabhängig sind die auch, denn seinen a1,...,an ∈ K mit

\( a_1 \cdot (v_{1}+U)+ \ldots + a_n\cdot (v_{n}+U ) = 0 \)  in V/U

==>  Es gibt \( w_{1}, \ldots, w_{n} ∈ U \) mit

\( a_1 \cdot (v_{1}+w_1)+ \ldots + a_n\cdot (v_{n}+w_n )  \)

ist ein Element von U . ( Das ist ja die 0 in V/U .)

==> \( a_1 \cdot v_{1}+ a_1 \cdot w_1+ \ldots + a_n\cdot v_{n} + a_n\cdot w_n  \)  ∈ U

also gibt es ein u∈ U mit

\( a_1 \cdot v_{1}+ a_1 \cdot w_1+ \ldots + a_n\cdot v_{n} + a_n\cdot w_n = u \)

umsortiert:

\( a_1 \cdot v_{1}+ \ldots + a_n\cdot v_{n}  = u  - a_1 \cdot w_1 - \ldots -  a_n\cdot w_n \)

Nun steht links ein Element aus der lin. Hülle von   \( v_1,\ldots,v_{n} \)

und rechts eines aus U. Da \( v_1,\ldots,v_{n} \) die Basis von U zu

einer Basis von V ergänzt, haben die lin. Hülle von \( v_1,\ldots,v_{n} \)

und U aber nur den Nullvektor gemeinsam, also gilt

\( a_1 \cdot v_{1}+ \ldots + a_n\cdot v_{n}  = 0 \) und wegen der

lin. Unabhängikeit von   \( v_1,\ldots,v_{n} \) sind alle a_i = 0. q.e.d.

Answer 2

\(a_1(v_1+U)+\cdots + a_n(v_n+U)=U\Rightarrow\)

\((a_1v_1+\cdots+a_nv_n)+U=U\), also

\(a_1v_1+\cdots+a_nv_n=b_1u_1+\cdots+b_mu_m\) mit gewissen

\(b_1,\cdots,b_m \in K\), daher

\(a_1v_1+\cdots+a_nv_n+(-b_1)u_1+\cdots+(-b_m)u_m=0\).

Da \(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n\) eine Basis von \(V\) bilden,

bekommt man \(a_1=\cdots=a_n=0\) und wegen \(dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)=n\)

folgt die Behauptung.