Aufgabe:
Zu Zeigen oder Widerlegen:
1.\frac{\log_{}{x}^{\log_{}{x}}}{P(x)}>1,\\
2.\frac{\log_{}{x}^{\log_{}\log_{}{x}}}{P(x)}<1
Problem/Ansatz:
Zu 1.
\lim\limits_{x\to\infty} \frac{\log_{}{x}^{\log_{}{x}}}{x^k}=\lim\limits_{z\to\infty} \frac{z^z}{(2^z)^k}=\lim\limits_{z\to\infty} \frac{\sqrt[z]{z^z}}{\sqrt[z]{(2^z)^k}}=\lim\limits_{z\to\infty} \frac{z}{{(2)^k}}\rightarrow \infty
Da k beliebig aber fest ist, sollte 1. wahr sein.
Zu 2.
\lim\limits_{x\to\infty} \frac{\log_{}{x}^{\log_{}{(\log_{}{x})}}}{x^k}=\lim\limits_{x\to\infty} \frac{2^{\log{}{(\log{}{x})}^{2}}}{(x)^k}=\lim\limits_{z\to\infty} \frac{2}{\sqrt[\log{}{(\log{}{x})}^{2}]{x^k}}
Wenn bis hierhin alles richtig ist, dann fehlt nur noch wenig.
\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 ist bekannt
