Differentialgleichung y′ = √y

Question

Gegeben sei die Differentialgleichung
       (*)    y′ = √y
1. Bestimme eine Lösung von (*) zum Anfangswert y(2) = 1. Ist diese eindeutig?
2. Finde mindestens drei Lösungen von (*) zum Anfangswert y(0) = 0.
3. Skizziere das durch die Differentialgleichung gegebene Richtungsfeld und trage die gefundenen Lösungen ein.
4. Erfüllt die rechte Seite von (*) eine Lipschitz-Bedingung?

danke im voraus

Answer 1

Man hat \(y''=1/(2\sqrt{y})\cdot y'=1/2\), also

\(y'=x/2+c_1\), folglich \(y=x^2/4+c_1x+c_2\). Dies in die DGL eingesetzt, liefert

\(y=x^2/4+cx+c^2=(x/2+c)^2\). Im Falle \(y(0)=0\) ergibt sich noch die

Lösung \(y=0\).