Doppelintegral lösen, Bruch integrieren

Question

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) _I \( \frac{1}{(x+y)^2} \)  d(x,y) für I = [1,2]x [3,4]

Problem/Ansatz:

\( \int\limits_{1}^{2} \) ( \( \int\limits_{3}^{4} \) (\( \frac{1}{(x+y)^2} \)dydx

Wie integriere ich hier diesen Bruch? Wie lautet die Regel?

Answer 1

Aloha :)

Hier ist es wegen der Symmetrie egal, nach welcher Variable du zerst integrierst. Wir integrieren zuerst nach \(dy\) und behandeln dabei \(x\) zunächst als Konstante:$$I=\int\limits_{x=1}^2\;\int\limits_{y=3}^4\frac{1}{(x+y)^2}\,dx\,dy=\int\limits_{x=1}^2\left[-\frac{1}{x+y}\right]_{y=3}^4dx=\int\limits_{x=1}^2\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\right)dx$$Jetzt kannst du ganz normal nach \(dx\) integrieren:$$\phantom{I}=\left[\ln|x+3|-\ln|x+4|\right]_{x=1}^2=\left(\ln(5)-\ln(6)\right)-\left(\ln(4)-\ln(5)\right)$$$$\phantom{I}=2\ln(5)-\ln(6)-\ln(4)=\ln\left(\frac{5^2}{4\cdot6}\right)=\ln\left(\frac{25}{24}\right)\approx0,040822$$

Comments

danke, wie kommst du denn auf - 1/(x+y) ???

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Leite das doch mal nach \(y\) ab und ersetze \(x\) durch \(a\):

$$\left(-\frac{1}{a+y}\right)'=\left(-(a+y)^{-1}\right)'=-(-1)(a+y)^{-2}=\frac{1}{(a+y)^2}$$

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Ok, danke dir. Aber am ende, bei der integration nach dy, müssen die beiden brüche nicht jeweils ein -1 davor stehen haben?

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Ja, eigentlich schon... aber die habe ich umgedreht:

$$\left[-\frac{1}{x+y}\right]_{y=3}^4=-\frac{1}{4+y}-\left(-\frac{1}{3+y}\right)=\frac{1}{3+y}-\frac{1}{4+y}$$

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Ahhhhh, danke!!!

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Wenn du Schwierigkeiten hast eine Stammfunktion zu bilden kann https://www.integralrechner.de/ dabei helfen.