Bestimmen sie z so, dass der dabei entstehende Drehkörper das Volumen V hat.

Question

Aufgabe:

Die Fläche unter dem Graphen von f über (1;z) rotiert um die x-Achse. Bestimmen sie z so, dass der dabei entstehende Drehkörper das Volumen V hat.

a) f(x)=1/x und V= 0,9pi

Problem/Ansatz:

… ich weiß leider nicht wie ich das berechnen kann das der entstehende körper das gleiche volumen hat.

Answer 1

Die Formel für das Volumen steht hier.

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\(\displaystyle\pi\cdot \int\limits_{1}^{z} \left( \frac{1}{x} \right)^2 \; dx= 0,9 \pi \)                       \( \Big\vert \) d/dx (-1/x) = 1/x²

\(\Longrightarrow\quad - \frac{1}{z} - (-\frac{1}{1}) = 0,9\)

Answer 2

$$ V = \pi \int_1^z \frac{1}{x^2} dx =  \pi x^{-1} \bigg|_1^z = \pi \left( 1 - \frac{1}{z} \right) $$

Answer 3

Hallo,

das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse berechnest du mit der Formel

\( V=\pi \cdot \int \limits_{a}^{b}(f(x))^{2} d x \)

Das ergibt

\( 0,9 \pi=\pi \cdot\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{z} \)

Jetzt musst du nur noch nach z auflösen.

Gruß, Silvia

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könntest du mir auch helfen das auszurechnen da ich 1,05409 raus bekomme und das kann nicht ganz sein.

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\( 0,9 \pi=\pi \cdot\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{z} \)

\( 0,9=-\frac{1}{z}-(-1) \)

\( 0,9=-\frac{1}{z}+1 \)

\( -0,1=-\frac{1}{z} \)

\( z=10 \)