Nach oben weisendes Normalfeld

Question

Aufgabe:

Es soll folgende Aufgabe berechnet werden:

Text erkannt:

Gegeben ist eine Funktion \( g \in C^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) mit den Eigenschaften \( g(x, y)>0 \), falls \( x^{\overline{2}}+y^{2}<1 \), und \( g(x, y)=0 \), falls \( x^{2}+y^{2}=1 \), sowie das Flächenstück
\( M=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}<1, z=g(x, y)\right\} \)
mit nach oben weisendem Normalenfeld im Punkt \( (0,0, g(0,0)) \). Berechne \( \int \limits_{M} \operatorname{rot} v \cdot d \vec{o} \) für das Vektorfeld \( v(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}x+y \\ x+y+z\end{array}\right) \).

Problem:

Ich habe Satz von Stokes verwendet und bin auf pi gekommen.

Das mit „nach oben weisenden Normalfeld“ besagt nur, dass das Vorzeichen bei dem Integral richtig ist (Plus), oder?

Wie würde man bzw drauf gekommen, ob das Feld nach oben oder nach unten weisend wäre, würde es nicht in der Angabe stehen?

Answer 1

Hallo,

wenn Du formal ganz korrekt arbeiten willst, gibst Du zunächst eine Parametrisierung für M an. Hier bietet sich an

$$(x,y) \mapsto (x,y,g(x,y))$$

Dan berechnest Du dazu das Normalenfeld. du wirst feststellen, dass die z-Komponente dieses Normalenfelds positiv ist - und das bedeutet, dass die Normalen "nach oben zeigen".

Für die Anwendung des Satzes von Stokes muss dann die Umlaufrichtung der Randkurve so gewählt werden, dass die Normalen im Gegen-Uhrzeiger-Sinn umlaufen werden, also hier ein Kreis im Gegen-Uhrzeiger-Sinn.

Unabhängig davon kann man nicht ohne weiteres entscheiden, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss.

Gruß Mathhilf