Aufgabe:
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
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Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{\sqrt{n}} \)
(b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\begin{array}{c}3 n \\ n\end{array}\right) x^{n} \),
(c) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}} x^{n} \),
(d) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n \mathrm{e}^{n}}(x+1)^{n} \).
Hinweis: Sie dürfen (hier und ab jetzt immer!) ohne Beweis benutzen, dass \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \) und \( \frac{n}{\sqrt[n]{n !}} \) für \( n \rightarrow \infty \) gegen die Eulersche Zahl e und \( \sqrt[n]{n} \) gegen 1 konvergieren.
