Eindeutig bestimmte Matrix A, sodass für alle x∈R3 gilt: f(x) =Ax

Question

Text erkannt:

Für eine lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gelte \( f((1,2,3))=(1,0), f((0,1,2))=(0,1) \) und \( f((0,0,1))=(1,1) \). Geben Sie die eindeutig bestimmte Matrix \( A \) an, sodass für alle \( x \in \mathbb{R}^{3} \) gilt: \( f(x)=A x \).

Hi, kann mir jemand zeigen, wie man diese Aufgabe lösen würde? Hab bis jetzt nur mit "einfacheren" Varianten einer solchen Aufgabe gerechnet wo von R3 auf R3 abgebildet wird.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du weißt, wie die Matrix \(A\) auf drei Punkte wirken muss:$$A\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\binom{1}{0}\quad;\quad A\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\binom{0}{1}\quad;\quad A\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\binom{1}{1}$$

Das kannst du zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:$$A\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\3 & 2 &  1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}$$

Daraus bestimmst du die gesuchte Matrix \(A\):$$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\3 & 2 &  1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\-2 & 1 & 0\\1 & -2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -2 & 1\\-1 & -1 & 1\end{pmatrix}$$

Comments

Ah achso, perfekt! Jetzt versteh ich auch, wo ich hängen geblieben bin. Danke dir.

Answer 2

Die gesuchte Matrix hat in den Spalten die

Bilder der 3 kanonischen Basisvektoren von R^3.

Für den 3. hast du das ja schon durch \( f((0,0,1))=(1,1) \)

Aus \( f((0,1,2))=(0,1) \) folgt dann :

\( (0,1)=f((0,1,2))=f(0,1,0)+2 \cdot f(0,0,1) \)

==>  \( (0,1) =f(0,1,0)+2 \cdot (1,1) \)

==>  \( (0,1) - 2 \cdot (1,1)=f(0,1,0) \)

==>  \( (-2,-1) =f(0,1,0) \)

Damit hast du die 2. und 3. Spalte von A=

\(  \begin{pmatrix} ? & -2 & 1 \\ ?&-1 & 1 \end{pmatrix}  \)

Und aus

 \( f(1,2,3)= f(1,0,0,) + 2f(0,1,0)+3f(0,0,1)=(1,0)\)

bekommst du die Werte für die 1. Spalte.