Sei (an) eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a , dann existiert für beliebige ε>0 ein N∈ℕ, s.d für alle n≥N gilt: |an-a|<ε
Behauptung: Für eine beliebige Permutation π(n): ℕ→ℕ konvergiert die Folge aπ(n) gegne den gleichen Grenzwert wie an.
Beweis:
Sei ε>0 f.a.b., dann gibt es wegen der Konvergenz von (an) ein N∈ℕ, s.d für alle n≥N gilt: |an-a|<ε gilt.
Die Menge M={k| k∈ℕ und k<N } beschreibt die endlichen Indizes der Folgenglieder für die gilt |ak-a|≥ε.
Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung, somit existiert die Umkehrabbildung π-1(n): ℕ→ℕ. Setzt man nun N'= max{ π-1(k) | k∈M } + 1, so muss für alle n≥N' gelten: |aπ(n)-a | < ε.
q.e.d.
Findet ihr den Beweis so in Ordnung, kann ich innerhalb eines Maximums eine Menge so definieren , wie ich das für N' getan habe?
