Aloha :)
Bei einer normal-verteilten Zufallsvariablen \(X\sim N(\mu;\sigma^2)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihr Wert \(x<a\in\mathbb R\) ist, durch das Integral über die Gauß-Glocke gegeben:$$F_X(a)=P(X<a)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^ae^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{(x-\mu)}{\sigma}\right)^2}\,dx$$wobei \(\sigma\) die Standardabweichung der Zufallsvariablen \(X\) ist und \(\mu\) ihr Mittelwert ist.
Wir substituieren darin:$$z:=\frac{x-\mu}{\sigma}\quad\implies\quad x=z\cdot\sigma+\mu \quad;\quad \frac{dx}{dz}=\sigma$$
Bevor wir \(x\) und \(dx=\sigma\,dz\) in das obige Integral einsetzen, überlegen wir uns noch, was bei der Substitution mit den Integrationsgrenzen passiert:$$z(-\infty)=\lim\limits_{x\to{-\infty}}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=-\infty\quad;\quad z(a)=\frac{a-\mu}{\sigma}$$Damit erhalten wir:$$P(X<a)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{a-\mu}{\sigma}}e^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{((z\sigma+\mu)-\mu)}{\sigma}\right)^2}\,\sigma\,dz=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{a-\mu}{\sigma}}e^{-z^2/2}\,dz\eqqcolon\phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$Durch Vergleich mit dem obersten Integral erkennt man, dass die neu eingeführte Zufallsgröße \(Z\) den Mittelwert \(\mu_z=0\) und die Standardabweichung \(\sigma_z=1\) hat. Daher ist \(Z\) standard-normalverteilt und es gilt insbesondere:$$F_X(x)=P(X<x)=\phi\left(\frac{x-\mu}{2}\right)$$
