Question

Bestimme eine Lösungsbasis der Bessel’schen Differentialgleichung der Ordnung p = 1 ,

y''+$\frac{1}{x}$y'+(1-1/4x²)y = 0

durch die Substitution z = y · √x

Comments

p=$\frac{1}{2}$

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Warum stellst Du diese Aufgabe 2mal ein?

Answer 1

Hallo,

z= y *√x

y= z/√x

y'= $\frac{z'}{\sqrt{x}}$  - $\frac{z}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

y''= $\frac{z''}{\sqrt{x}}$ - $\frac{z'}{ x^{\frac{3}{2}}}$ +  $\frac{3z}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

->Setze y , y', y'' in die DGL ein und vereinfache:

$\frac{z'' }{\sqrt{x}}$ + $\frac{z }{\sqrt{x}}$  =0

z'' +z=0

-------->Charakt. Gleichung:

k²+1=0

k_1,2=± i

z= C₁ Cos(x) +C₂ sin(x)

Resubstitution:

z=y √x

$y(x)=\frac{c_{1} \cos (x)+c_{2} \sin (x)}{\sqrt{x}}$