Question

Bestimme eine Lösungsbasis der Bessel’schen Differentialgleichung der Ordnung p = 1 ,

y''+\( \frac{1}{x} \)y'+(1-1/4x²)y = 0

durch die Substitution z = y · √x

Comments

p=\( \frac{1}{2} \)

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Warum stellst Du diese Aufgabe 2mal ein?

Answer 1

Hallo,

z= y *√x

y= z/√x

y'= \( \frac{z'}{\sqrt{x}} \)  - \( \frac{z}{2 x^{\frac{3}{2}}} \)

y''= \( \frac{z''}{\sqrt{x}} \) - \( \frac{z'}{ x^{\frac{3}{2}}} \) +  \( \frac{3z}{4 x^{\frac{5}{2}}} \)

->Setze y , y', y'' in die DGL ein und vereinfache:

\( \frac{z'' }{\sqrt{x}} \) + \( \frac{z }{\sqrt{x}} \)  =0

z'' +z=0

-------->Charakt. Gleichung:

k^2+1=0

k_1,2=± i

z= C₁ Cos(x) +C₂ sin(x)

Resubstitution:

z=y √x

\( y(x)=\frac{c_{1} \cos (x)+c_{2} \sin (x)}{\sqrt{x}} \)