Berechnen Sie das Integral der stückweise definierten Funktion

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral der stückweise definierten Funktion

mit f1(x) = -x^3 * sin(π*(1+x^2)) <=1 und f2(x) = x^2-8x+7 > 1

Text erkannt:

Berechnen Sie das Integral der stückweise definierten Funktion
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -x^{3} \sin \left(\pi\left(1+x^{2}\right)\right), & \text { falls } x \leq 1 \\ x^{2}-8 x+7, & \text { falls } x>1 \end{array}\right. \)

sodass die Stammfunktion stetig ist.

Problem/Ansatz:

Wie muss ich hier vorgehen? hab schon alles moegliches versucht

Comments

In welchen Grenzen sollst du das Integral berechnen?

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Also du wirst wahrscheinlich nicht um eine partielle Integration der sinusfunktion herumkommen. Den Ausdruck des Integrals kannst du dann auch per WolframAlpha überprüfen. Anschließend leitest du auch das Polynom auf.

Answer 1

Hallo,

Wie muss ich hier vorgehen?

nun zunächst mal beide Funktinen \(f_1(x)\) und \(f_2(x)\) integrieren:$$F_{1}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi^{2}}\left(\pi x^{2}\cos\left(\pi x^{2}\right)-\sin\left(\pi x^{2}\right)\right) + C_1\\ F_{2}\left(x\right)=\frac{1}{3}x^{3}-4x^{2}+7x+C_2$$Aus der Forderung, dass die zusammen gesetzte Stammfunktion stetig sein soll, folgt$$F_1(1) = F_2(1)$$also setzt man für \(x=1\) ein$$-\frac{1}{2\pi} +C_1 = \frac{10}{3}+C_2 \\ \implies C_1-C_2 =\Delta C = \frac{1}{2\pi} +  \frac{10}{3} \\\implies C_2 = C_1 - \Delta C$$und man kann beide Funktionen mit einem gemeinsamen \(C_1\) schreiben$$F_1(x) = \dots + C_1 \\ F_2(x) = \dots + C_2 = \dots -\Delta C+ C_1$$bzw. als Gesamtfunktion$$F(x)= \begin{cases}\frac{1}{2\pi^{2}}\left(\pi x^{2}\cos\left(\pi x^{2}\right)-\sin\left(\pi x^{2}\right)\right) + C_1 && x <= 1 \\ \frac{1}{3}x^{3}-4x^{2}+7x-\left(\frac{1}{2\pi} +  \frac{10}{3}\right)+C_1&& 1 \lt x\end{cases}$$und so sieht das als Graph aus; mit \(C_1=0\):

Die Ausgangsfunktion ist die rot-blaue und der grüne Graph ist der der Stammfunktion \(F(x)\).

Dadurch dass die Ausgangsfunktion ebenfalls in \(x=1\) stetig war, ist \(F(x)\) zwangsläufig in \(x=1\) auch stetig differenzierbar.

Comments

Das Integral von \(f_1\) ist natürlich nicht trivial. Die erste Vereinfachung geschieht mit $$\sin(\alpha \pm \pi) = -\sin(\alpha)$$also ist$$F_1(x)=\int -x^{3}\sin\left(\pi\left(1+x^{2}\right)\right)\,\text dx = \int x^3\sin(\pi x^2) \,\text dx$$partielle Integration ist hier - wenn's überhaupt zum Ziel führt - mühsam! Einfacher ist ein Ansatz für \(F_1(x)\) wie$$F_1(x) = g_1(x)\cos(\pi x^2) + g_2(x)\sin(\pi x^2)$$leite dies ab und setzt das Ergebnis gleich der Ausgangsfunktion im Integral.

Falls Du dazu Fragen hast, so melde Dich bitte.