Prüfen ob Kurve rektifizierbar ist

Question

Aufgabe:prüfen ob Kurve rektifizierbar ist

Problem/Ansatz: Gegeben Funktion f:[-1,0] nach R , f(t) = t cos(1/t) , 0 bei t =0

so die Kurve ist nicht rekt. weil sie gegen 0 osziliert, nur bin ich mir nicht ganz klar wie ich den Beweis führe, was klar ist ich muss eine Unterteilung finden, und dann nachweisen das die Länge unendlich ist, nur beim "wie" hänge ich und bräuchte einen Tip

Comments

was klar ist ich muss eine Unterteilung finden, und dann nachweisen das die Länge unendlich ist

Ist das so klar? Warum unendlich?

Also ich habe in Rolf Busams Prüfungstrainer der Analysis Rektifizierbarkeit von \(f\) über die Existenz des Integrals zur Berechnung der Kurvenlänge \(\ell(f)=\int \limits_{-1}^{0}||\dot{f}(t)||\, \mathrm{d}t\) gefunden ... Das ist dann der Nachweis der Rektifizierbarkeit Nachweis, weil  \(t\cdot \cos(1/t)\) in \([-1,0]\) dann beschränkte Variation hat.

Die explizite Angabe wäre eher untypisch und eher wichtig für den Beweis als für die Praxis ...

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Danke schön, aber Variationen hatten wir bisher noch nicht, im Kurstext wird eine Zerlegung gemacht dann eine Formel gebildet und eine grenzeertbetrachtung gemacht.

Und bei der Zerlegung hab ich meine Schwierigkeiten

Answer 1

Hallo,

wähle die Teilpunkte

$$-1,-\frac{1}{\pi},-\frac{1}{2\pi}, \ldots -\frac{1}{k\pi},-\frac{1}{(k+1)\pi} \ldots,-\frac{1}{n\pi},0$$

Betrachte den Polygonzug durch die entsprechenden Kurvenpunkte. Wir berechnen den Beitrag zu Länge des Polygonzugs auf eine Intervall \( -\frac{1}{k\pi},-\frac{1}{(k+1)\pi}\). Dabei ist zu beachten, dass der cos an den Intervallenden die Werte \(\pm\) annimmt:

$$\frac{1}{\pi}\sqrt{((\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1})^2+ (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})^2} \geq \frac{1}{\pi}\frac{1}{k+1}$$

Summiert man das auf, hat man eine harmonische Summe und im Grenzübergang eine harmonische Reihe.

Gruß Mathhilf