Ist ein Verktorfeld ein Gradientenfeld?

Question

Liebe Community,

ich habe eine Aufgabe, bei der mir leider der Ansatz fehlt :(

Ich soll untersuchen, ob die folgenden Verktorfelder Gradientenfelder sind und ggf. die Stammfunktion bestimmen.

a)

$$f = \begin{pmatrix} f_{1}\\f_{2} \end{pmatrix} :]0,\infty[\times\mathbb{R}^2 \text{  mit }f(x_{1}, x_{2})=\begin{pmatrix} 2cos(x_{1}^2+x_{2})-\frac{sin(x_{1}^2+x_{2})}{x_{1}^2}\\\frac{cos(x_{1}^2+x_{2})}{x_{1}} \end{pmatrix}$$

b)

$$g = \begin{pmatrix} g_{1}\\g_{2}\\g_{3} \end{pmatrix} :\mathbb{R}^2 \times]0,\infty[\rightarrow\mathbb{R}^3 \text{  mit }g(x_{1}, x_{2},x_{3})=\begin{pmatrix} \frac{x_{1}x_{2}}{x_{3}}\\\frac{x_{1}^2}{2x_{3}}-x_{2}\\-\frac{x_{1}^2x_{2}}{2x_{3}^2} \end{pmatrix}$$

Ich weiß, dass ich lediglich die Stammfunktion bilden kann, wenn das Vektorfeld ein Gradientenfeld ist. Aber ich komme nicht bis zu diesem Punkt.

Hat jemand vielleicht eine Idee?

Danke im Voraus!

Answer 1

a) Stammfunktion

        \(F(x_1,x_2) \coloneqq \int f_2(x_1,x_2)\,\mathrm{dx_2}\)

bestimmen. Integrationskonstante \(c(x_1)\) nicht vergessen.

Gleichung

        \(\frac{\partial}{\partial x_1}F(x_1,x_2) = f_1(x_1,x_2)\)

lösen um \(c(x_1)\) zu bestimmen. Es handelt sich genau dann um ein Gradientenfeld, wenn die Gleichung eine Lösung hat.

Comments

Hallo Oswald,

danke für deine Rückmeldung. Leider komme ich noch nicht ganz weiter.

Warum bildest du im ersten Schritt die Stammfunktion von f2 und nicht f1?

c(x1) ist also die Lösung, wenn ich dann die gebildete Stammfunktion wieder ableite, diesmal aber nach x1? Woran sehe ich, dass die Gleichung eine Lösung besitzt?

Und wie funktioniert das bei b), wenn ich 3 Teilfunktionen habe?

Danke Dir!

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Hallo Oswald,

soeben ist der Groschen gefallen, vielen Dank für deine Hinweise.

Liebe Grüße

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Warum bildest du im ersten Schritt die Stammfunktion von f2 und nicht f1?

Ich weiß spontan, wie man \(f_2\) integriert.

Um \(f_1\) zu integrieren, müsste ich nachdenken. Das mache ich nicht so gerne.

c(x1) ist also die Lösung,

Nein. Die Stammfunktion ist \(F\). Laut

        \(F(x_1,x_2) \coloneqq \int f_2(x_1,x_2)\,\mathrm{d}x_2\)

ist

        \(\frac{\partial}{\partial x_2}F(x_1,x_2)= f_2(x_1,x_2)\).

Zweck der Integrationskonstanten ist, dass auch

        \(\frac{\partial}{\partial x_1}F(x_1,x_2)= f_1(x_1,x_2)\)

ist.

Woran sehe ich, dass die Gleichung eine Lösung besitzt?

Wie sieht deine Rechnung im Moment aus?

Und wie funktioniert das bei b), wenn ich 3 Teilfunktionen habe?

Dann ist die Integrationskonstante zunächst von zwei Variablen abhängig.

Wie das im Detail funktioniert, ist im folgenden Video beschrieben. https://www.youtube.com/watch?v=GRbglyWL5j4

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Dankeschön! :)