Sei P eine invertierbare reelle quadratische nxn-Matrix
und x∈ℝ^n \ {0}.
Dann ist \( P \cdot x \) ≠ 0, weil P invertierbar ist; denn
\( P \cdot x = 0 \) ==> \( x = P^{-1} \cdot 0 = 0 \) im Widerspruch
zu x∈ℝ^n \ {0}.
Betrachte also \( x^T \cdot ( P^T \cdot P ) \cdot x \). Es ist zu zeigen, dass
dies immer positiv ist. Es gilt
\( x^T \cdot ( P^T \cdot P ) \cdot x = (x^T \cdot P^T) \cdot ( P \cdot x ) \)
\( = (P \cdot x )^T \cdot ( P \cdot x ) \)
und wegen \( P \cdot x \) ≠ 0 wird hier also ein von
0 verschiedener Zeilenvektor mit dem Spaltenvektor, der
die gleichen Komponenten hat, multipliziert. Das gibt die
Summe der Quadrate der Komponenten. Da der Vektor
nicht 0 ist, ist mindestens eine Komponente nicht 0, also
das Produkt größer oder gleich dem Quadrat dieser Komponente,
also positiv. q.e.d.