Vektorräume | Graph ist Unterraum

Question

Sei \( f: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung zwischen zwei \( \mathbb{R} \)-Vektorräumen. Zeigen Sie, dass ihr Graph \( \{(v, f(v)) \mid v \in V\} \) ein Unterraum von \( V \times W \) ist.

Wie zeige ich das hier genau? Ich verstehe das nicht genau, wäre lieb wenn mir jemand das erklären könnte!

Answer 1

Prüfe die Unterraumaxiome. Das geht sehr einfach, weil die Abbildung \(f\) linear ist.

Zunächst ist der Unterraum nicht leer, denn mit \(f(0)=0\) ist \((0,0)\) enthalten.

Wähle nun \((v,f(v))\) und \((w,f(w))\) aus dem Unterraum. Zeige, dass die Summe \((v,f(v))+(w,f(w))\) im Unterraum enthalten ist. Das folgt allerdings direkt aus der Linearität von \(f\). Warum?

Analog kann man das für die Multiplikation mit einem Skalar \(\lambda\) zeigen. Zeige, dass \(\lambda(v,f(v))\) im Unterraum enthalten ist. Auch das folgt direkt aus der Linearität von \(f\). Warum?

Comments

Die Frage ist allerdings schon 2 Jahre her :)

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Na und? Das ist mir bewusst. Es wird ja sogar gewünscht, auch alte Fragen zu beantworten. Im Gegensatz zu anderen beantworte ich aber keine Fragen, die schon beantwortet wurden. Dass hier seitens des FS wahrscheinlich keine Rückmeldung mehr kommen wird, ist auch klar. Sollte aber dennoch mal jemand auf diese Frage stoßen, hat er einen Ansatz. :)