globale Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

Geben Sie alle globalen Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichungen
y′′ + y = cos(2t) und z'′ + z = cos (t)
an. Vergleichen Sie das Verhalten der Lösungen fur ¨ t → ∞ .

Problem/Ansatz:

die Methode der Variation der Konstanten, d.h. machen Sie den

Ansatz y(t) = α(t)e^it und betrachten Sie den Realteil dieser komplexen Lösung oder
machen Sie den Ansatz y(t) = α(t) cos t oder y(t) = α(t) sin t

Answer 1

Hallo,

y′′ + y = cos(2t)

1.Berechnung der homogenen Lösung:

Ansatz: y= e^( kx) , 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen:

---->Charakt.Gleichung: k^2 +1=0 --->k_1,2= ± i

yh= C₁ cos(t) +C₂ sin(t)

2. Bilden der Wronski Determinante:

--->y₁= cos t

y₂=  sin t

W(x)  =

| y1  y2    |

| y1'  y2' |   = 1

f(x)= cos(2t)

3.) C1(x)=  - ∫  \( \frac{f(x) y2(x)}{W(x)} \)  dx= cos(3t)/6 -cos(t)/2

4.) C2(x)=  ∫  \( \frac{f(x) y1(x)}{W(x)} \) dx= sin(3t)/6 +sin(x)/2

5.) yp= C1(x) y1(x)+C2(x) y2(x)=  ---->Variation der Konstanten

6.)y=yh +yp=

Comments

Was ist denn a?

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