Funktion mehrerer Veränderlicher : Stetigkeit im Nullpunkt prüfen

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob die Funktion f (x,y) = \( \frac{x*y^2}{x^4+y^4} \) stetig im Nullpunkt (0,0) ist.

Problem/Ansatz:

f(0,y) = \( \frac{0*y^2}{x^4+y^4} \) = 0 → 0 

f(x,0) = \( \frac{x*0}{x^4+y^4} \) = 0 → 0

Für y = m*x ∧ m ≠ 0 gilt:

f(x, mx) = \( \frac{x*(m*x)^2}{x^4+(m*x)^4} \)  = \( \frac{x*m^2 * x^2}{x^4+ m^4 * x^4} \)

= \( \frac{x^3 * m^2}{x^4 * (1+m^4)} \) = \( \frac{m^2}{x * (1+m^4)} \) → ∞ für x → 0 (Da der Bruch immer größer wid)

f nicht stetig in (0,0).

Habe ich die Aufgabe so richtig gelöst?

Answer 1

Ist OK, Aber du hättest ja sogar für m=1 rechnen können.

Das würde auch reichen.

Answer 2

Hallo

ja es ist richtig. du brauchst ja nur einen Weg durch (0,0) bei dem nicht 0 erreicht wird.  es hätte auch y=x gereicht statt y=mx

vielleicht solltest du die Begründung angeben.

Gruß lul

Comments

Ok, aber nur, wenn ich gewusst hätte, dass sie nicht stetig ist. Bzw. durch ausprobieren. Bin am Anfang davon ausgegangen, dass sie stetig ist, und das kann man ja dann super mit m*x für y überprüfen, oder?

Also kann ich jede Funktion einfach von jeder Richtung auf Stetigkeit im Nullpunkt prüfen, indem ich die m*x Methode nutze, oder?

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Hallo

ja, wenn sie  sich dabei sich als unstetig zeigt, aber für Stetigkeit reicht es nicht, wenn man auf y=mx brav in 0 landet kann man ja immer noch bei y=x^2 0der y=√x oder.. nicht in 0 landen

Gruß lul

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Komisch. Ich dachte, unser Prof hätte gesagt, dass die Überprüfung von (x,mx), (x,0), (0,y) reichen würden.

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hallo

für unstetig reicht es, nicht für stetig.

lul

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Was gibt es denn für Möglichkeiten, außer Polarkoordinaten oder sandwich lemma, um stetigkeit zu zeigen?

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Bei den üblichen Aufgaben meist Polarkoordinaten, weil die so gemacht sind, Sandwich ist auch gut und manchmal ein 3 d Plotter, oder BELIEBIGE Folge (xn,yn) die gegen (meisten 0 aber auch gegen (x0,y0) konvergiert. (damit kann man auch rumprobieren (1/n,1/n) (1/n,1/n^2) (1/n,1/√n)    usw.

Gruß lul

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Aber beliebige folge ist ja nur, um Unstetigkeit zu zeigen, oder? Was ist mit 3d plotter gemeint? Grafische ansicht? Aber dann nicht in der Klausur.

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Hallo

nein mit beliebiger Folge kann man Stetigkeit beweisen, wenn man zeigt, dass sie beliebig ist. Und ok in einer Klausur  hilft ein 3d Plotter wenig, manchmal kann man die Höhenlinien für f=±0,01 oder so skizzieren

lul

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Unser Prof sagt das geht nicht. Nur weil wir für x = y = 1/n setzen und die Funktion für die Folge dann stetig ist, heißt es noch lange nicht, dass die Funktion für jede andere Folge stetig ist. Oder verstehe ich dich falsch?

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Hall

ich hatte betont BELIEBIGE Folge also für JEDE Folge (xn,yn)->(x0,y0) und natürlich geht das nicht immer zu zeigen, deshalb ist es nicht der üblich Weg. aber bei der Polarmethode etwa verwendest du es indirekt, für jede Folge rn->0 unabhängig von phi ..

Gruß lul

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Ahh, ok. Gibt es noch eine andere für beliebig, anstelle der polarkoordinatenmethode?