Aufgabe: Die durchchnittliche Höhe des Graphen von f berechnen.
…
Problem/Ansatz: Ich verstehe nicht wie man hier auf die Parametisierung des Parallelogramms kommt.
Text erkannt:
Aufgabe 5
Berechnen Sie die durchschnittliche Höhe des Graphen von
\( f(x, y)=x^{2} y \)
über dem Parallelogramm mit den Eckpunkten \( (0,0),(1,0),(1,1) \) und \( (2,1) \).
Hinweis: Die durchschnittliche Höhe eines Graphen \( f \) über einem Bereich \( A \) ist die Höhe des verallgemeinerten Quaders über \( A \), dessen Volumen dem Volumen unter dem Graphen von \( f \) über \( A \) entspricht.
Lösung:
Zum Lösen der Aufgabe müssen wir zuerst das beschriebene Parallelogramm parametrisieren. Eine einfache Möglichkeit dafür ist
\( P=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \in[0,1), 0 \leq y \leq x\right\} \cup\{(x, y) \mid x \in[1,2], x-1 \leq y \leq 1\} . \)
Damit erhalten wir
\( \begin{aligned} \int \limits_{P} x^{2} y \mathrm{~d}(x, y) &=\int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{x} x^{2} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} x+\int \limits_{1}^{2} \int \limits_{x-1}^{1} x^{2} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} x \\ &=\int \limits_{0}^{1}\left[\frac{1}{2} x^{2} y^{2}\right]_{0}^{x} \mathrm{~d} x+\int \limits_{1}^{2}\left[\frac{1}{2} x^{2} y^{2}\right]_{x-1}^{1} \mathrm{~d} x \\ &=\int \limits_{0}^{1} \frac{1}{2} x^{4} \mathrm{~d} x+\int \limits_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{2} x^{2}(x-1)^{2} \mathrm{~d} x \\ &=\left[\frac{1}{10} x^{5}\right]_{0}^{1}+\int \limits_{1}^{2}-\frac{1}{2} x^{4}+x^{3} \mathrm{~d} x \\ &=\frac{1}{10}+\left[-\frac{1}{10} x^{5}+\frac{1}{4} x^{4}\right]_{1}^{2} \\ &=\frac{3}{4} \end{aligned} \)
Die Fläche des Parallelogramms ist offensichtlich gleich eins, da die Grundseite und die Höhe jeweils die Länge eins haben. Demzufolge ist auch die durchschnittliche Höhe gleich \( 3 / 4 \).
