Beweis e^A e^B ≠ e^B e^A

Question

Aufgabe:

beweise dass e^Ae^B ≠ e^Be^A

Problem/Ansatz:

meine Idee wäre zu zeigen dass e^A+B = e^Ae^B und dann e^B+A = e^Be^A und zeige dass die beide nicht gleich sind.

any ideas ?

Comments

Wenn es um Matrixexponentiale geht:

e^(A+B)= e^A e^B

Diese Gleichheit gilt im Allgemeinen nicht.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

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Lieber Fragesteller, warum teilst du uns nur einen
Teil einer Aufgabe mit. Sollen A und B Matrizen sein?
Soll statt generell \(e^Ae^B\neq e^Be^A\) in Wirklichkeit gezeigt werden,
dass es Matrizen A und B gibt, so dass die Ungleichung gilt?

Answer 1

In welcher mathematischen Welt bewegt sich die Aufgabe?

Konkret: In welcher "Welt" ist A+B verschieden von B+A?

Answer 2

Als Beispiel für die Existenz von Matrizen

\(A,B\in M_n(\mathbb{R})\) mit \(e^Ae^B\neq e^Be^A\)

wähle$$A=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right),\;B=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right)$$Dann ist $$e^A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right),\; e^B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right)$$und diese Matrizen sind nicht vertauschbar.