Aloha :)
In der Aufgabenstellung steht, dass ohne Zurücklegen gezogen wird...
10 Werkstücke, 3 sind defekt, 7 sind brauchbar. Es wird solange ohne Zurücklegen gezogen, bis man ein brauchbares Werkstück erhält.
Die Zufallsvaribale \(X\) sei die Anzahl der benötigten Ziehungen. Wir bestimmen die Einzelwahrscheinlichkeiten.
$$p(X=1)=\underbrace{\frac{7}{10}}_{\text{brauchbar}}=\frac{84}{120}$$$$p(X=2)=\underbrace{\frac{3}{10}}_{\text{defekt}}\cdot\underbrace{\frac{7}{9}}_{\text{brauchbar}}=\frac{7}{30}=\frac{28}{120}$$$$p(X=3)=\underbrace{\frac{3}{10}}_{\text{defekt 1}}\cdot\underbrace{\frac{2}{9}}_{\text{defekt 2}}\cdot\underbrace{\frac78}_{\text{brauchbar}}=\frac{7}{120}$$$$p(X=4)=\underbrace{\frac{3}{10}}_{\text{defekt 1}}\cdot\underbrace{\frac{2}{9}}_{\text{defekt 2}}\cdot\underbrace{\frac{1}{8}}_{\text{defekt 3}}\cdot\underbrace{\frac{7}{7}}_{\text{brauchbar}}=\frac{1}{120}$$
Der Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen ist daher:$$E(X)=\frac{84}{120}\cdot1+\frac{28}{120}\cdot2+\frac{7}{120}\cdot3+\frac{1}{120}\cdot4=\frac{11}{8}=1,375$$
Wenn mit Zurücklegen gezogen wird, gilt für \(X=k\ge1\), dass zuerst \((k-1)\) defekte Bauteile gezogen werden müssen und als letztes ein brauchbares Bauteil:$$P(X=k)=\left(\frac{3}{10}\right)^{k-1}\!\!\!\cdot\frac{7}{10}$$Der Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen ist nun:$$E(X)=\sum\limits_{k=1}^\infty k\cdot P(X=k)=\sum\limits_{k=1}^\infty k\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{k-1}\!\!\!\cdot\frac{7}{10}=\frac{7}{10}\sum\limits_{k=1}^\infty k\left(\frac{3}{10}\right)^{k-1}$$
Zur Berechnung der Summe betrachte allgemeiner mit \(|y|<1\):$$\sum\limits_{k=1}^\infty k\cdot y^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{d}{dy}(y^k)\stackrel{(|y|<1)}{=}\frac{d}{dy}\sum\limits_{k=1}^\infty y^k=\frac{d}{dy}\left(\sum\limits_{k=0}^\infty y^k-y^0\right)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^\infty k\cdot y^{k-1}}=\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{1-y}-1\right)=\frac{1}{(1-y)^2}$$
Für \(y=\frac{3}{10}\) heißt das:$$E(X)=\frac{7}{10}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac{3}{10}\right)^2}=\frac{7}{10}\cdot\frac{1}{\left(\frac{7}{10}\right)^2}=\frac{10}{7}\approx1,42857$$
