Welche der Mengen ist offen? Welche ist eine Umgebung von (1,-1)?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten \( \mathbb{R}^{2} \) mit der Supremumsnorm \( \|\cdot\|_{\infty}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow[0, \infty[\quad \). Welche der Mengen
\( (x, y) \mapsto \max \{|x|,|y|\} \)
\( \begin{array}{l} A:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}, \quad B:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq y\right\}, \\ C:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \max \{|x-1|,|y+1|\}<1\right\} \end{array} \)
ist offen? Welche ist eine Umgebung von \( (1,-1) \) ?

Problem/Ansatz:

Verstehe die Aufgabe nicht und brauche Hilfe.

Comments

Bei dem zweiten Satz "Welche der Mengen...." folgt die Beschreibung einer Funktion. Fehlt da etwas oder ist etwas verrutscht?

Answer 1

Ich setze die Kenntnis den folgenden Satzes voraus:

Urbilder offener (bzw. abgeschlossener) Mengen unter stetigen

Abbildungen sind offen (bzw. abgeschlossen).

\(f_A:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R},\; f_A(x,y)=x^2+y^2\) ist stetig mit

\(A=f_A^{-1}([0,1])\). \(A\) ist also abgeschlossen und nicht offen.

(Die einzigen Mengen, die zugleich offen und abgeschlossen sind,

sind der ganze Raum und die leere Menge).

\(f_B:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R},\; f_B(x,y)=x-y\) ist stetig mit

\(B=f_B^{-1}([0,\infty))\). Also ist \(B\) abgeschlossen und nicht offen.

Die Abbildungen

\(f_D, f_E:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R},\; f_D(x,y)=|x-1|,\; f_E(x,y)=|y+1|\)

sind stetig mit

\(C=f_D^{-1}((-\infty,1))\cap f_E^{-1}((-\infty, 1))\). \(C\) ist also offen.

(1,-1) ist innerer Punkt von \(B\) und von \(C\).