Ich setze die Kenntnis den folgenden Satzes voraus:
Urbilder offener (bzw. abgeschlossener) Mengen unter stetigen
Abbildungen sind offen (bzw. abgeschlossen).
\(f_A:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R},\; f_A(x,y)=x^2+y^2\) ist stetig mit
\(A=f_A^{-1}([0,1])\). \(A\) ist also abgeschlossen und nicht offen.
(Die einzigen Mengen, die zugleich offen und abgeschlossen sind,
sind der ganze Raum und die leere Menge).
\(f_B:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R},\; f_B(x,y)=x-y\) ist stetig mit
\(B=f_B^{-1}([0,\infty))\). Also ist \(B\) abgeschlossen und nicht offen.
Die Abbildungen
\(f_D, f_E:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R},\; f_D(x,y)=|x-1|,\; f_E(x,y)=|y+1|\)
sind stetig mit
\(C=f_D^{-1}((-\infty,1))\cap f_E^{-1}((-\infty, 1))\). \(C\) ist also offen.
(1,-1) ist innerer Punkt von \(B\) und von \(C\).