Man nennt eine Menge \( U \subset \mathbb{R} \) offen, wenn ihr Komplement \( \mathbb{R}-U \) abgeschlossen ist. Zeigen Sie: \( U \) ist offen genau dann, wenn jedes \( x \in U \) eine \( \epsilon \)-Umgebung \( (x-\epsilon, x+\epsilon) \) \( (\epsilon>0) \) besitzt, die ganz in \( U \) enthalten ist. Zeigen Sie weiter folgende Aussagen: Ist \( \left\{U_{i}\right\}_{i \in I} \) eine beliebige Familie von offenen Teilmengen, dann ist auch \( \bigcup_{i \in I} U_{i} \) offen. Ist die Indexmenge \( I \) endlich, dann ist \( \bigcap_{i \in I} U_{i} \) offen. Eine Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) ist stetig genau dann, wenn das Urbild \( f^{-1}(U) \) jeder offenen Menge \( U \subset \mathbb{R} \) wieder offen ist.
Guten Abend, bräuchte Hilfe bei der Aufgabe. Kann mir wer bitte einen Ansatz zeigen. LG
