Zeige, dass die Funktion stetig ist.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Funktion
\( \begin{aligned} f: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto x^{2}+\frac{x+2}{x^{2}+y^{2}+1} \end{aligned} \)
stetig ist.

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man die Stetigkeit in diesem Beispiel?

Answer 1

Hallo,

gehen wir von der Definition aus und untersuchen die Stetigkeit von f in einem beliebigen Punkt \((x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2\). Dazu betrachten wir eine beliebige Folge \(((x_n,y_n))\) in \(\mathbb{R}^2\) mit

$$((x_n,y_n)) \to (x_0,y_0), \text{  also } x_n \to x_0, y_n \to y_0$$

Dann folgt aus den Grenzwertsätzen für reelle Folgen
$$x_n+2 \to x_0+2, \qquad x_n^2+y_n^2+1 \to x_0^2+y_0^2+1, \qquad \frac{x_n+2}{x_n^2+y_n^2+1} \to \frac{x_0+2}{x_0^2+y_0^2+1}$$

Und schließlich

$$f(x_n,y_n) \to x_0^2+\frac{x_0+2}{x_0^2+y_0^2+1}=f(x_0,y_0)$$

Gruß Mathhilf

Comments

vielen lieben dank für deine antwort und hilfe :)