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Aufgabe:

Sei f: (0,∞) → R gegeben durch f(x) = x^x

Zeige, dass f stetig ist. Beweise ferner, dass f in 0 stetig fortsetzbar ist und gebe die stetige Fortsetzung an.

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Hallo

schreibe x^x  mit x=eln(x)  als ex*ln)x) und benutze Zusammensetzung stetiger Funktionen.

dann bilde den GW gegen 0 und finde f(0)=1 als stetige Ergänzung

lul

1 Antwort

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Aloha :)

Die Komposition (Hinterinanderausführung) stetiger Funktionen ist stetig. Die Exponentialfunktion \(e^x\) und die Logarithmusfunktion \(\ln(x)\) sind über ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.

Wenn du nun ausnutzt, dass sich die Wirkungen von Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion gegenseitig kompensieren, kannst du \(f(x)\) als Komposition stetiger Funktionen schreiben:$$f(x)=x^x=e^{\ln(x^x)}=e^{x\cdot\ln(x)}\quad;\quad x\in(0;\infty)$$Daher ist auch \(f(x)\) stetig über dem Defintionsbereich, den beide Funktionen gemeinsam haben, also über \(x\in(0;\infty)\).

Den Grenzwert \(x\searrow0\) überlegst du dir, indem du den Grenzwert des Exponenten mit der Regel von L'Hospital (\(\ast\)) bestimmst:$$\lim\limits_{x\searrow0}\left(x\cdot\ln(x)\right)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(\frac{\ln(x)}{\frac1x}\right)\stackrel{(\ast)}{=}\lim\limits_{x\searrow0}\left(\frac{\frac1x}{-\frac{1}{x^2}}\right)=\lim\limits_{x\searrow0}(-x)=0$$Damit ist$$\lim\limits_{x\searrow0}(x^x)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(e^{x\cdot\ln(x)}\right)=e^{\lim\limits_{x\searrow0}(x\cdot\ln(x))}=e^0=1$$

Avatar von 152 k 🚀

Defintionsbereich, den beide Funktionen gemeinsam haben ist eine unglückliche Formulierung

Und wie lautet die glückliche?

Was für eine dürftige Behauptung ohne Erklärung wie so oft.

Von Ihnen kann man v.a. eines: kaum etwas vernünftig lernen

Ihr Fan abakus hat da schon wesentlich mehr auf dem Kasten.

Es sollte dir doch langsam aufgefallen sein, dass du stets ins Leere läufst, wenn du an meinen Kommentaren herumnörgelst.

Die Rede vom gemeinsamen Definitionsbereich ist deshalb unglücklich, weil sie zu sehr an die Schnittmenge zweier Definitionsbereiche erinnert.
Um es dir klar zu machen : Die Funktionen u mit u(x) = sign(√(25-x^2)-4) und v mit v(x) = arcsin(x)+3 haben den in diesem Sinne gemeinsamen Definitionsbereich [-1 , 1] auf dem beide stetig sind, ihre Verkettung f = u°v ist es jedoch nicht.

Es sollte dir doch langsam aufgefallen sein, dass du stets ins Leere läufst, wenn du an meinen Kommentaren herumnörgelst.

Ich tue nur dasselbe, was Sie ständig antipädagogisch auch tun.

Gleiches Recht für alles, Sie penetranter Miesmacher.

Ich wünsche mit SIE angesprochen zu werden um Distanz zu schaffen,

Sie mir wenigsten so etwas vom Leib zu halten.

Für mich sind Sie unten durch hier, wie bei vielen anderen wohl auch.

PS:

Heute vor 50 Jahren wurde die Serie "Ein Herz und eine Seele" zum ersten

Mal ausgestrahlt.

In einer Neuauflage würde ich Sie für die Rolle des Alfred Tetzlaff vorschlagen.

Die Rolle wäre Ihnen auf den Leib geschneidert.

https://funpot.net/?660016

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