Aloha :)
Die Komposition (Hinterinanderausführung) stetiger Funktionen ist stetig. Die Exponentialfunktion \(e^x\) und die Logarithmusfunktion \(\ln(x)\) sind über ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.
Wenn du nun ausnutzt, dass sich die Wirkungen von Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion gegenseitig kompensieren, kannst du \(f(x)\) als Komposition stetiger Funktionen schreiben:$$f(x)=x^x=e^{\ln(x^x)}=e^{x\cdot\ln(x)}\quad;\quad x\in(0;\infty)$$Daher ist auch \(f(x)\) stetig über dem Defintionsbereich, den beide Funktionen gemeinsam haben, also über \(x\in(0;\infty)\).
Den Grenzwert \(x\searrow0\) überlegst du dir, indem du den Grenzwert des Exponenten mit der Regel von L'Hospital (\(\ast\)) bestimmst:$$\lim\limits_{x\searrow0}\left(x\cdot\ln(x)\right)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(\frac{\ln(x)}{\frac1x}\right)\stackrel{(\ast)}{=}\lim\limits_{x\searrow0}\left(\frac{\frac1x}{-\frac{1}{x^2}}\right)=\lim\limits_{x\searrow0}(-x)=0$$Damit ist$$\lim\limits_{x\searrow0}(x^x)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(e^{x\cdot\ln(x)}\right)=e^{\lim\limits_{x\searrow0}(x\cdot\ln(x))}=e^0=1$$
