Wieso wird bei diesen manchmal der Faktor vor dem x mit dem höchsten Exponent manchmal ausgeklammert und manchmal nicht?

Question

Text erkannt:

a) \( \quad \int \limits_{-1}^{1}\left(-\frac{1}{2} x^{2}-x+\frac{3}{2}\right) \mathrm{dx}=\left[-\frac{1}{6} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{3}{2} x\right]_{-1}^{1}=-\frac{1}{6}\left[x^{3}+3 x^{2}-9 x\right]_{-1}^{1}=-\left(-\frac{5}{6}\right)-\left(-\frac{11}{6}\right)=\frac{8}{3} \mathrm{FE} \)
b) \( \int \limits_{-1}^{2}\left(x^{3}+x^{2}\right) d x=\left[\frac{1}{4} x^{4}+\overline{\frac{1}{3} x^{3}}\right]_{-1}^{2}=\left(4+\frac{8}{3}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)=6 \frac{3}{4} \mathrm{FE} \)
c) \( \int \limits_{-3}^{-2}\left(x^{2}+3 x+2\right) d x=\left[\frac{1}{3} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}+2 x\right]_{-3}^{-2}=\frac{1}{6}\left[2 x^{3}+9 x^{2}+12 x\right]_{-3}^{-2}=\frac{5}{6} F E \)

Lerne gerade Integralrechnen und gehe ein Paar Aufgaben online durch. Wieso wird bei diesen der Faktor vor dem x mit dem höchsten Exponent manchmal ausgeklammert und manchmal nicht? Gibt es dafür einen Grund? oder einfach aus praktischen Gründen?

(Die Aufgaben sind nicht aus einem Buch, sondern online umsonst verfügbar) http://www.vorwerg-net.de/Mathematik/5.Analysis/5.5.A.Integralrechnung.pdf

Comments

Sorry, die Grammatik ist ja nicht so dolle

Answer 1

Aloha :)

Manchmal kann man durch Ausklammern von Faktoren die nachfolgenden Berechnungen erleichtern. Im ersten Fall (a) z.B. wird man durch Ausklammern von \((-\frac16)\) die anderen Brüche los und kann die Grenzen \(1\) und \((-1)\) schnell im Kopf einsetzen.

Beim Fall (b) würde ein Ausklammern des \(\frac14\) nicht viel bringen. Der Bruch \(\frac13\) würde dadurch zu \(\frac43\), also nicht wegfallen. Das wird eher noch fummeliger.

Beim Fall (c) wird durch das Ausklammern von \(\frac16\) der Rest der Rechnung "bruchfrei".

Du musst halt schauen, wie DU am besten rechnen magst...

Comments

Sowas in die Richtung habe ich vermutet. Also ist es wirklich nur Optional?

Dann muss ich mich wohl irgendwo verrechnet haben, da ich andere Lösungen raus hatte.

Vielen Dank für die Antwort :)

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Die angegebenen Rechnungen sind alle korrekt, die Integrale sind alle richtig.

Answer 2

Gibt es dafür einen Grund? oder einfach aus praktischen Gründen?

Das kann man ja machen wie man will. Stell dir vor zu willst von Hamburg nach München fahren. Nimmst du die Bahn oder das Auto. Wenn du mit dem Auto fährst, fährst du den schnellsten weg, den kürzesten weg oder den landschaftlich schönsten Weg. Wenn es mehrere Wege zum Ziel gibt steht es jedem frei den zu nehmen den er bevorzugt.

Rechnet man im Kopf mag es Sinnvoll sein einen Bruch auszuklammern, ansonsten tippt man das ja eh nur als Term in den Taschenrechner ein und lässt es ausrechnen.