Verkettung zweier Funktionen ohne mehrdimensionale Kettenregel

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen
f : R2 → R2, f(x, y) = $$\begin{pmatrix} x^2\\xy \end{pmatrix}$$

, g : R2 → R3, g(x1, x2) = $$\begin{pmatrix} x_{2}e^(x_1^2) \\2ln(x_1+1) \\ e^(sin(x_2)) \end{pmatrix}$$

Welche der Verkettungen f ◦ g und g ◦ f sind definiert? Bestimmen Sie gegebenfalls die Ableitung der
Verkettung

Problem/Ansatz:

an sich verstehe ich was man machen muss, aber wie funktioniert das ganze ohne die mehrdimensionale Kettenregel?

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion \(g\) hat 3 Ausgänge, die Funktion \(f\) hat aber nur 2 Eingänge, also ist \((f\circ g)\) nicht definiert. Definiert ist nur:$$(g\circ f)(x;y)=g(f_1(x;y)\,;\,f_2(x;y))=g(x^2;xy)=\begin{pmatrix}(xy)e^{(x^2)^2}\\2\ln(x^2+1)\\e^{\sin(xy)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xye^{x^4}\\2\ln(x^2+1)\\e^{\sin(xy)}\end{pmatrix}$$

Die Ableitung ist die Jacobi-Matrix \(J(x;y)\). Sie enthält die Gradienten der einzelnen Komponentenfunktionen als Zeilenvektoren:$$J(x;y)=\begin{pmatrix}e^{x^4}(4x^4+1)y & e^{x^4}x\\[1ex]\frac{4x}{x^2+1} & 0\\[1ex]ye^{\sin(xy)}\cos(xy) & xe^{\sin(xy)}\cos(xy)\end{pmatrix}$$

Answer 2

Hallo

du hasst ja die möglichen Einsetzungen direkt machen und dann differenzieren.

Gruß lul