Wahrscheinlichkeit abschätzen mit Tschebyscheff-Ungleichung

Question

Aufgabe:

Von einer Zufallsvariablen seien nur der Mittelwert \( \mu=100 \) und die Varianz \( \sigma^{2}=90 \) bekannt. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit \( P(|X-100| \geq 20) \) nach oben hin ab.

Problem/Ansatz:

Ich tue mich mit den Chebyshev Ungleichung recht schwer und verstehe nicht ganz den Sinn dahinter, bei einigen Aufgaben.

Ist der Lösungsweg korrekt?

\( P\left(\left|X-\mu_{x}\right| \geq c\right) \leq 1-\frac{\sigma^{2}}{c^{2}} \)

\( P(|x-100| \geq 20) \leq 1-\frac{90}{400} \)

\( P(|X-100| \geq 20 \leq 0,775 \)

Answer 1

Aloha :)

Du musst nur in die Tschebyscheff-Ungleichung einsetzen. Diese besagt:$$P(|X-\mu|\ge c)\le\frac{\sigma^2}{c^2}\quad;\quad c\in\mathbb R^+$$

Hier ist \(\mu=100\), \(\sigma^2=90\) und \(c=20\), das heißt:$$P(|X-100|\ge20)\le\frac{\sigma^2}{c^2}=\frac{90}{400}=0,225$$

Du hast in deiner Rechnung das Gegenereignis abgeschätzt also:$$P(|X-100|<20)\ge1-\frac{\sigma^2}{c^2}=0,775$$Das stimmt von der Rechnung zwar auch, war aber in der Aufgabenstellung nicht gesucht.