Bestimmen Sie den Definitionsbereich D⊆ℝ von f(x)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion
            "f := x -> ln((x - 1)/(x^2 + 1))"

(a)

Bestimmen Sie den Definitionsbereich D⊆ℝ von f(x)

(b)

Geben Sie die Nullstellen der Funktion an

(c)

Geben Sie die Extremstellen der Funktion an, ohne verwendung der Ableitung

(d)

Geben Sie die größtmöglichen Intervalle an, in denen die Funktion monoton steigend bzw. monoton fallend ist.

(e)

Bestimmen sie ein Intervall, in der die Funktion injektiv ist. Begründen Sie das.

Problem/Ansatz: Mein Problem liegt im Unterpunkt (c), da sich die Funktion nicht auf ein vollständiges Quadrat vereinfachen lässt (komplexe Nullstellen) und auch nicht verlangt wird mit beispielsweise einer komplexen Partialbruchzerlegung einen Beweis zu führen

Ich hab es mit dem Zwischenwertsatz probiert, bekomme zwar eine Annäherung, aber um den exakten Wert der Stelle, der in den reellen Zahlen vergraben liegt, zu finden, braucht man mehr als eine rationalisierung der Funktion. Ich weiß aber leider nach langem probieren nicht was der richtige Ansatz für ein Extremwertproblem ohne Ableitung ist . Vielleicht kann mir jemand einen Ansatz geben, der mir hilft. Danke schonmal für jeden Versuch

Jeremias

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Hm. Das klingt ja als solle gar keine Ableitung verwendet werden. Ich hätte sonst gesagt der ln() ist streng monoton steigend. D.h. lokale Extrema hat die Funktion dort, wo das Argument lokale Extrema hat. Damit bräuchte man nur das Argument abzuleiten.

Wie man y = (x - 1)/(x^2 + 1) ansonsten ohne Ableitung auf Extrema untersuchen würde, entzieht sich hier meiner Kenntnis.

Aber auch hier bräuchte man ja nicht mal die komplette Ableitung zu bilden, sondern nur den Zähler der Ableitung. Weil der ja gleich 0 sein müsste.

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Laut Wolframalpha ist

das Extremum bei

$$x = 1+\sqrt{2}$$

$$y = ln(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2})$$

Vielleicht hilft das ja weiter ...

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Wie wird das y nach WolframAlpha definiert? Hättest du Rechenschritte dazu? Weil den Extrempunkt kann ich mir ja mit der 1. Ableitung ausrechnen, aber die darf man ja nicht verwenden.

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Ich habe nur das kostenlose WA benutzt.

k.A. ... vermutlich benutzten sie die Ableitung.

Mich würde die Lösung interessieren, wenn du sie bekommst, und es nicht nur eine numerische Näherung ist.

Answer 1

Ich hab eine Idee wie es ohne ableitung geht.

(x - 1)/(x^2 + 1) = c
c·x^2 - x + c + 1 = 0

Diskriminante D = 0

1^2 - 4·c·(c + 1) = 0 --> c = - 1/2 ± √2/2

Damit ergibt sich für x

x = 1 ± √2

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Das schaut sehr gut aus. Ich werd mich damit beschäftigen. Warum wird die Diskriminante D = 0 gesetzt?

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Warum wird die Diskriminante D = 0 gesetzt?

Du weißt vermutlich das die Quadratische Gleichung dann genau eine Lösung hat. Die Beiden Funktionen also eine Berührstelle haben und sich dort nur berühren und nicht schneiden.

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Okay danke, das ist wirklich sehr hilfreich. Hab mit verschiedenen Menschen aus höheren Semestern gesprochen und keiner konnte mir das beantworten. Möchte mich gerne mehr damit befassen, um mehr Intuition dafür zu bekommen.

Answer 2

Hallo

wenn du d) kannst, dann ja auch c denn am einzigen max kippt das ja.

einfach x=2,5, 3 und 4 einsetzen damit kann man das Max eingrenzen, ich sehe aber nicht wie es exakt bestimmen.

Gruß lul

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Das gleiche Verhalten hab ich auch beobachtet, bei der Verwendung des Mittelwertsatzes und einsetzen von a=3 und b=2, aber gesucht ist Definition exakter Wert, der aber eine irrationale Zahl ist und ohne Ableitung komm ich einfach nicht auf den Nenner