Question

Zeigen Sie, dass für die Funktion φ : Z_n → Z/nZ, a ↦ + nZ gilt:

• φ ist ein Ringhomomorphismus

• φ ist injektiv

• φ ist surjektiv

Comments

Was ist denn bei dir \(Z_n\) und soll es

vielleicht \(a\mapsto a+nZ\) heißen?

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Text erkannt:

5.3. Lemma: Sei \( n \in \mathbb{N} \). Dann gill \( \mathbb{Z}_{n} \cong \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \).
Beweis: Definiere \( \varphi: \mathbb{Z}_{n} \rightarrow \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}: a \mapsto a+n \mathbb{Z} \). Zeige, daß \( \varphi \) ein Ringhomomorphismus, injektiv und surjektiv ist.

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Text erkannt:

Beweisen Sie Lemma \( 5.3 \) aus der Vorlesung. Zeigen Sie dafür, dass für die Funktion \( \varphi: \mathbb{Z}_{n} \rightarrow \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, a \rightarrow a+n \mathbb{Z} \) gilt:
- \( \varphi \) ist ein Ringhomomorphismus
- \( \varphi \) ist surjektiv
- \( \varphi \) ist injektiv

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Was ist denn bei dir \(Z_n\)?

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Text erkannt:

Aus den Übungen und dem vorherigen Kapitel schon bekannt ist die folgende Definition
5.1. Definition: Sei \( n \in \mathbb{N} \) und \( \mathbb{Z}_{n}:=\{0, \ldots, n-1\} \). Definiere für \( a, b \in \mathbb{Z}_{n} \)
- \( a+b=(a+b) \bmod n \).
- \( a \cdot b=(a \cdot b) \bmod n \).
5.2. Bemerkung: Erinnerung:
(a) Für jedes \( n \in \mathbb{N} \) ist \( \mathbb{Z}_{n} \) cin kommutativer Ring.
(b) \( \mathbb{Z}_{n} \) ist ein Körper genau dann, wenn \( n \) eine Primzahl ist.
(c) \( \mathbb{Z}_{1}=\{0\} \) ist ein Spezialfall, den wir im wesentlichen auslassen werden.
5.3. Lemma: Sei \( n \in \mathbb{N} \). Dann gilt \( \mathbb{Z}_{n} \simeq \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \).
Beweis: Definierc \( \varphi: \mathbb{Z}_{n} \rightarrow \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}: a \mapsto a+n \mathbb{Z} \). Zeige, daß \( \varphi \) ein Ringhomomorphismus, injektiv und surjektiv ist.

Das ist alles Infons, die ich habe :/

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Ich bitte um eure Hilfe. :( :(

Answer 1

Zur Injektivität:

Seien \(a,b\in Z_n\) mit \(\varphi(a)=\varphi(b)\), also

\(a+nZ=b+nZ\). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit

sei \(b\leq a\). Aus \(a+nZ=b+nZ\) folgt

\(a-b\in nZ\). Es gibt also ein \(c\in Z\) mit

\(0\leq a-b = nc\). Da aber \(b\leq a\) ist,

muss \(0\leq a-b\leq a \leq n-1\) sein,

also \(c=0\), folglich \(a=b\).

Comments

Kannst du mir auch bitte bitte bei Ringhomomorphismus helfen? Ich hab selber surjektiv geschafft. Ich kann aber Ringhomo. nicht :/