Geben Sie jeweils die Koeffizienten aj, bj der reellen Standard-Form an

Question

Aufgabe: Die im Folgenden angegebenen Funktionen f : R → C sind trigonometrische Polynome. Geben Sie jeweils die Koeffizienten aj, bj der reellen Standard-Form
  
trigonometrischer Polynome (n ∈ N fest und hinreichend groß) an:
a) \( f(x)=\cos (x-\pi)-\sin (x+\pi), x \in \mathbb{R} \)

b) \( f(x)=\sin ^{2}(2 x), \quad x \in \mathbb{R} \)
c) \( f(x)=\left(2 e^{-3 i x}-e^{i x}\right)^{2} x \in \mathbb{R} \)
d) \( f(x)=(2 \cos x-i \sin x)^{3}, x \in \mathbb{R} \)

Comments

Ich müsste jetzt googeln: Was ist die "reelle Standardform"?

Wenn du das aufschreiben könntest würdest du mir helfen, dir zu helfen.

PS: Die erste Teilaufgabe wurde hier diskutiert:

https://www.mathelounge.de/951237/geben-sie-koeffizienten-in-standard-form-an

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Erstmal danke für eine schnelle Antwort die Standardform sieht folgendermaßen aus:

f(x)= a0/2 +Σaj cos(jx) +bj sin(jx)) x∈ℝ

Answer 1

Hallo,

a) y= cos(x-π) -sin(x+π)

Additionstheoreme verwenden:

\( \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta \)

\( \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta \)

cos(x-π) = cos(x) cos(π) +sin(x) sin(π) = cos(x)*(-1) +sin(x) *0 = -cos(x) 

sin(x+π)=sin(x) *cos(π) +cos(x) sin(π) =sin(x) *(-1) +cos(x) *0= -sin(x)

->= -cos(x) -(-sin(x))= sin(x) -cos(x)

allgemein:

\( f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cdot \cos \left(k \omega_{1} t\right)+b_{k} \cdot \sin \left(k \omega_{1} t\right)\right) \)

a= -1

b= 1