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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir haben einen Vektorraum \(V\) mit der Basis \((e^x; xe^x; x^2e^x)\) gegeben.
Zusätzlich haben wir eine Funktion \(A\colon V\to V,\,A(f(x))=f(x)+f'(x)\) gegeben.
Du suchst nun eine Darstellungsmatrix \(A\) bezüglich der Basis von \(V\).
$$A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=A(e^x)=e^x+\left(e^x\right)'=e^x+e^x=2e^x=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$$$$A\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=A(xe^x)=xe^x+\left(xe^x\right)'=xe^x+e^x+xe^x=e^x+2xe^x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$$$$A\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=A(x^2e^x)=x^2e^x+\left(x^2e^x\right)'=x^2e^x+2xe^x+x^2e^x=2xe^x+2x^2e^x=\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}$$
Die gesuchte Abbildungsmatrix lautet also:$$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\0 & 2 & 2\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$