Bestimmen Sie die Determinante von A_{2 n} .

Question

Aufgabe:

Es sei \( K \) ein Körper, \( a, b \in K \) und \( n \in \mathbb{N} \). Weiter definieren wir
$$ A_{2 n}=\left(\begin{array}{cccccc} a & 0 & \ldots & \ldots & 0 & b \\ 0 & a & & & b & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdot & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \cdot & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & b & & & a & 0 \\ b & 0 & \ldots & \ldots & 0 & a \end{array}\right) \in M_{2 n}(K), $$
wobei alle Werte der Matrix, welche nicht auf der Diagonalen oder der Gegendiagonalen liegen, Null sein sollen. Bestimmen Sie die Determinante von \( A_{2 n} \).

Problem/Ansatz:

Wie kann ich hier vorgehen?

Comments

a*letzte Zeile -b mal erste, dann dasselbe mit zwoter und  zweit letzter. usw. ergibt eine Dreiecksmatrix.

oder Machs für n= 3 und 4 und sie wie es läuft

Gruß lul

Answer 1

Kannst auch für kleine n probieren

n=1  gibt  a^2 - b^2

n=2 gibt   (a^2-b^2)^2

n=3 gibt ( a^2 -b^2)^3

Dann kannst du leicht das Ergebnis raten ( a^2 -b^2)^n

und mit Induktion beweisen. Beim Induktionsschritt

nach der 1. Spalte entwickeln gibt dann sowas wie

a*det(X) - b*det(Y)

und X und Y haben in der ersten bzw. letzten Zeile ein a bzw. b

und sonst nur 0en, also werden die auch entwickelt und du hast

det(A_2n+2) = a*det(X) - b*det(Y)

                = a*a *det(A_2n) - b*b*det(A_2n )

                = (a^2 - b^2) * det(A_2n)