Matrix (A_) Bestimmen

Question

Aufgabe

Sei V ein dreidimensionaler Vektorraum, dessen Basis
durch die 3 Funktionen
e1(x) = e^x
e2(x) = xe^x und e3(x) = x^2 e^x
gegeben ist. Weiterhin sei für eine beliebige Funktion f(x) element V
A(f(x))=f(x)+(df(x)/dx)
eine Abbildung von V nach V.

a) Bestimmen Sie die Matrix(A_), die A bzgl. der gegebenen Basis darstellt.

Kann mir bitte jemand helfen ich finde einfach keinen Ansatz für diese Aufgabe.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir haben einen Vektorraum \(V\) mit der Basis \((e^x; xe^x; x^2e^x)\) gegeben.

Zusätzlich haben wir eine Funktion \(A\colon V\to V,\,A(f(x))=f(x)+f'(x)\) gegeben.

Du suchst nun eine Darstellungsmatrix \(A\) bezüglich der Basis von \(V\).

$$A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=A(e^x)=e^x+\left(e^x\right)'=e^x+e^x=2e^x=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$$$$A\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=A(xe^x)=xe^x+\left(xe^x\right)'=xe^x+e^x+xe^x=e^x+2xe^x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$$$$A\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=A(x^2e^x)=x^2e^x+\left(x^2e^x\right)'=x^2e^x+2xe^x+x^2e^x=2xe^x+2x^2e^x=\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}$$

Die gesuchte Abbildungsmatrix lautet also:$$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\0 & 2 & 2\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$

Comments

Danke dir....du bist einfach mein Held

Answer 2

Die Spalten von \(A\) sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren.

\(A(e_2) = e_2 + \frac{\mathrm{d}e_2}{\mathrm{d}x} = x\mathrm{e}^x + (x+1)\mathrm{e}^x = 2x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x = 1e_1+ 2e_2 + 0e_3\)

Die zweite Spalte von \(A\) ist also \(\left(\begin{smallmatrix}1\\2\\0\end{smallmatrix}\right)\).

Comments

Vielen lieben Dank