Distanz von Ellipse zu Gerade

Question

Aufgabe:

Es seien

\( A:=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}=6\right\} \quad \text { und } \quad B:=\left\{y \in[0, \infty)^{2}: y_{1}+y_{2}=5\right\} . \)

Berechnen Sie den Wert von

\( \operatorname{dist}(A, B)=\inf \left\{\|x-y\|_{2}: x \in A, y \in B\right\} . \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen

Comments

Und was ist Deine Frage dazu?

Answer 1

Das geht ja mit geometrischer Argumentation

(Lot von einem Ellipsenpunkt auf die Gerade)  oder auch

als Extremwertproblem mit 2 Variablen.

Letzteres so:

Sei (a,b) ein Punkt der Geraden, also ( a, 5-a)

und (x,y) auf der Ellipse, also ( x; √(3-x^2/2).

Die Zeichnung zeigt ja:

Das muss auf dem oberen Ellipsenteil sein.

~plot~ sqrt(3-x^2/2);-sqrt(3-x^2/2);5-x ~plot~

Dann ist der Abstand der beiden Punkte

d = √( (a-x)^2 + ( 5-a-√(3-x^2/2))^2  )

Es reicht das Min. von d^2 zu bestimmen. Man hat ja

d^2 = 2a^2 -2ax + x^2/2 +28 - 10a -(10-3a)√(3-x^2/2)

Die beiden partiellen Ableitungen sind

d^2_x =  (5-a)*√(4x) / √(6-x^2) + x -2a

und d^2_a = 4a + √(12-2x^2) -2x - 10

d^2_a=0 nach a auflösen und bei d^2_x = 0 einsetzen

gibt   ( (x-10)√(6-x^2) -√2 *(2x^2 -5x -6) = 0

mit der Lösung x = 2 also a=3.

Einfacher aber wohl mit der Orthogonale von einem Ellipsenpunkt

auf die Gerade. Das geht nur an einem Punkt, an dem

die Ellipse die Tangentensteigung  -1 hat .

Also die Ableitung von √(3-x^2/2)  gleich -1 ist.

Also -√2 * x /   ( 2 √(6-x^2)   = -1

also auch hier x=2 .

Comments

Wahrscheinlich wäre es wegen der relativ einfachen Nebenbedingungen ein Overkill. Aber grundsätzlich eignen sich Aufgabe dieser Art für eine Lösung mit dem Lagrange-Multiplikator.

Eine mögliche Hauptbedingung ist, das Quadrat des Abstandes zu minimieren$$\operatorname{dist}^2(A,B) = (x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 \to \min $$mit den beiden Randbedingungen$$x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-6 = 0 \\y_{1}+y_{2}-5=0$$stellt man die Lagrangegleichung nebst Ableitungen nach den Koordinaten von \(x\) und \(y\) auf:$$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = (x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2  + \lambda_1(x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-6) +\lambda_2(y_{1}+y_{2}-5) \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \begin{pmatrix} 2(x_1-y_1)\\2(x_2-y_2) \end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix} 2x_1\\4x_2 \end{pmatrix}\to \vec 0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = \begin{pmatrix} -2(x_1-y_1)\\-2(x_2-y_2) \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\to \vec 0$$nach der Elimination der \(\lambda\) bleibt dann$$2(x_1-y_1)x_2 = (x_2-y_2)x_1 \\ x_1-y_1 = x_2-y_2 $$Setzt man die untere in die obere ein, folgt sofort \(2x_2=x_1\) und setzt man dies wiederum in die Nebenbedingungen ein, so erhält man für die möglichen Optima$$x= \pm(2,\,1)\\ \implies y = (3,\,2) \land y=(2,\,3)$$wobei offensichtlich ist, was Maximum und was Minimum ist.

Answer 2

Kontrolllösung:  

\( dist(A,B) = \sqrt{2} \)  

Die Distanz führt vom Punkt (2 | 1) auf der Ellipse zum Punkt (3 | 2) auf der Geraden.

Answer 3

Wenn du die Gerade mit einer Parallelverschiebung immer näher an die Ellipse heranbringst, wird es irgendwann einen ersten "Kontakt" geben. Dann hast du die Gerade so weit verschoben, dass die verschobene Gerade eine Tangente der Ellipse ist.

Den Abstand der gegebenen Geraden und der dazu parallelen Tangente gilt es zu berechnen.

Die obere Halbellipse wird durch \( f(x)=\sqrt{3-0,5x^2} \).

Bilde die Ableitung und setze sie mit dem Geradenanstieg (m=-1) gleich.

Die Lösung ergibt die x-Koordinate der Berührungsstelle.

Comments

Die obere Halbellipse wird durch \( f(x)=\sqrt{3-0,5x^2} \).

Ist aber gar nicht nötig! Es reicht die gegebene Ellipsen-Gleichung $$x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}=6$$nach \(x_1\) abzuleiten, wobei \(x_2=f(x_1)\) ist. Und mit \(m=x_2'=-1\) wird daraus$$\frac{\partial}{\partial x_1} \to 2x_1 + 4x_2\underbrace{x_2'}_{=-1} = 0 \\ \implies x_1=2x_2$$zurück Einsetzen in die Ellipsen-Gleichung ergäbe die erwähnten Berührpunkte.

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Ist aber gar nicht nötig! Es reicht die gegebene Ellipsen-Gleichung ...

Mir ging es darum, dass die Aufgabe auch mit den vergleichsweise einfachen Mitteln der Klasse 11 lösbar ist. Partielle Ableitungen und implizites Differenzieren sind während dieser Zeit unbekannt.

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Mir ging es darum, dass die Aufgabe auch mit den vergleichsweise einfachen Mitteln der Klasse 11 lösbar ist.

ist löblich, damit jemand aus Klasse 11 mitlesen kann. Andere Fragen, die 321ehtaM hier gestellt hat, sehen aber eher nach Post-Abitur aus.

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Jetzt kann man in D das Abitur schon auf der Post erwerben? Früher ging man dazu noch aufs Gymnasium.

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Bei der Gelegenheit: Zwei Polizisten finden einen herrenlosen Pinguin und nehmen ihn mit auf die Wache. Sagt der Chef: "Was soll der Pinguin hier? Bringt ihn in den Zoo!"

Als der Chef am nächsten Tag wiederkommt, ist der Pinguin immer nocht da. "Ihr solltest doch mit ihm in den Zoo gehen!"

Antwortet ein Polizist: "Da waren wir gestern. Heute nehmen wir ihn mit ins Theater."