Verstehe nicht, was die Aufgabe von mir will. In der Lösung werden willkürlich Brüche erzeugt, die dann das Ergebnis liefern. Wieso kann z.B C nicht kleiner als 1/2 sein?
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Lösungen zur 2. Auswahlklausur 2016/2017
Aufgabe 1
Man bestimme die kleinste reelle Konstante \( C \) mit folgender Eigenschaft: Für fünf beliebige positive reelle Zahlen \( a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} \), die nicht unbedingt verschieden sein müssen, lassen sich stets paarweise verschiedene Indizes \( i, j, k, l \) finden, so dass \( \left|\frac{a_{i}}{a_{j}}-\frac{a_{k}}{a_{l}}\right| \leq C \) gilt.
Lösung: Der gesuchte Wert ist \( C=\frac{1}{2} \).
Zunächst beweisen wir, dass \( C \leq \frac{1}{2} \) gilt. Dazu nehmen wir oBdA \( a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq a_{4} \leq a_{5} \) an und betrachten die fünf Brüche \( \frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{a_{3}}{a_{4}}, \frac{a_{1}}{a_{5}}, \frac{a_{2}}{a_{3}}, \frac{a_{4}}{a_{5}} \). Nach dem Schubfachprinzip liegen in einem der Intervalle ]0, \( \left.\frac{1}{2}\right] \) bzw. ]\( \left.\frac{1}{2}, 1\right] \) drei verschiedene dieser Brüche, wobei zwei von diesen in der Aufzählung direkt aufeinanderfolgen oder der erste und der letzte Bruch dabei sind. Jedenfalls ist die positive Differenz dieser beiden Brüche kleiner als \( \frac{1}{2} \) und die vier beteiligten Indizes sind paarweise verschieden.
Nun zeigen wir, dass \( C \geq \frac{1}{2} \) gilt. Dazu betrachten das Beispiel 1, 2,2,2,r, wobei \( r \) eine Riesenzahl sein soll. Mit diesen Zahlen lassen sich - der Größe nach geordnet - die Brüche \( \frac{1}{r}, \frac{2}{r}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{2}{1}, \frac{r}{2}, \frac{r}{r} \) bilden, wobei nach der Aufgabenstellung \( \frac{1}{r} \) und \( \frac{2}{r} \) nicht gleichzeitig gewählt werden dürfen. Daher ist die kleinste positive Differenz gleich \( \frac{1}{2}-\frac{2}{r} \), und dies nähert sich für \( r \rightarrow \infty \) dem Wert \( \frac{1}{2} \) von unten beliebig gut an. \( \square \)
