a) \( x \mid y+1 \)
Das Relationssysmbol \(\mid\) ist nicht teil der Signatur. Es darf deshalb nicht in der Formel vorkommen.
Tipp. Greife auf die Definition von \(a\mid b\) zurück.
b) \( \forall y:(y<x)(y=1 \wedge \) y \( x \times x) \)
Es fehlen Junktoren.
Das \(\times\) soll wohl ein \(\nmid\) sein. Für \(\nmid\) gilt entsprechendes wie für \(\mid\).
c) \( \forall x: \exists y((z<y)(z-1 \wedge z X y)) \wedge(y>x) \)
Es fehlen Junktoren.
Für \(X\) gilt das Gleiche wie für \(\mid\) und \(\nmid\).
d) \( \forall x \geqslant 4((\exists y \mid x=y+y) \Rightarrow(\exists z, w \mid x=z+w \wedge z, w \in P) \)
Das \(\mid\) soll wohl den Teil \(\exists y\) vom Teil \(x = y+y\) trennen. Im Beispiel wurde dafür der Doppelpunkt verwendet.
Formulierungen wie \(\forall x \geqslant 4\) sind prädikatenlogische Umgangssprache. Für ein einstelliges Prädikatssymbol \(P\) und eine Formel \(\varphi\) ist
\(\forall x\in P:\ \varphi\)
eine abkürzende Schreibweise für
\(\forall x:\ \left(x\in P\to \varphi\right) \)
und
\(\exists x\in P:\ \varphi\)
eine abkürzende Schreibweise für
\(\exists x:\ \left(x\in P \wedge \varphi\right)\).
Überprüfe ob du solche Abkürzungen verwenden darfst.
Unabhängig davon sind weder \(\geqslant\), noch \(4\), noch \(P\) Teil der Signatur und es gilt das Gleiche wie für \(\mid\), \(\nmid\) und \(X\).
\(\exists z,w\) ist eine abkürzende Schreibweise für \(\exists z\exists w\). Überprüfe ob du solche Abkürzungen verwenden darfst.
\(z, w \in P\) darfst du höchstwahrscheinlich nicht so verwenden, auch wenn es in der mathematischen Umgangssprache üblich ist. Du dürftest \(z\in P \wedge w\in P\) verwenden, wenn \(P\) Teil der Signatur wäre.
e) \( \forall x \mid x^{2} \in 0 \Rightarrow x \in 0 \), wobei 0 eine Menge aller ungeraden zahlen ist.
\(\square^2\) und \(O\) sind nicht Teil der Signatur.
