Bilden die Vektoren ein Erzeugendensystem von R3?

Question

Aufgabe:

Bilden die Vektoren ein Erzeugendensystem von R3?

Problem/Ansatz:

a) Ist mir soweit klar, die Vektoren können ja nur abhängig sein, da die Anzahl der Vektoren den Dimensionsbereich übersteigt. Wie argumentiert man aber bei b)? Es scheint ja ziemlich trivial zu sein, komme aber gerade leider auf keinen Ansatz. Erzeugen die Vektoren einfach ein EZS von R3, dadurch, dass es hier mehr als 3 Vektoren sind?

Text erkannt:

4. a) Stellen Sie fest, ob die Vektoren
\( v_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad v_{4}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \)
in \( \mathbb{R}^{3} \) linear unabhängig sind. (1 Punkt)
b) Bilden \( v_{1}, \ldots, v_{4} \) ein Erzeugendensystem von \( \mathbb{R}^{3} \) ? (1 Punkt)

Text erkannt:

4. a) Stellen Sie fest, ob die Vektoren
\( v_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad v_{4}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \)
in \( \mathbb{R}^{3} \) linear unabhängig sind. (1 Punkt)
b) Bilden \( v_{1}, \ldots, v_{4} \) ein Erzeugendensystem von \( \mathbb{R}^{3} \) ? (1 Punkt)

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wegen \(\vec v_3+\vec v_4=\vec v_1\) sind die Vektoren linear abhängig.

zu b) Wegen der Linearen Abhängigkeit aus (a) brauchen wir nur zu prüfen, ob die verbliebenen Vektoren \(\vec v_2\), \(\vec v_3\) und \(\vec v_4\) ein Erzeugendensystem bilden. Dazu erinnern wir uns, dass die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix das \(n\)-dimensionale Volumen angibt, das die \(n\) Reihenvektoren aufspannen:$$\operatorname{det}(\vec v_2;\vec v_3\;\vec v_4)=\begin{vmatrix}3 & 1 & 0\\2 & 1 & 1\\1 & 1 & 2\end{vmatrix}=3(2-1)-(4-1)=0$$Die Vektoren \(\vec v_2\), \(\vec v_3\) und \(\vec v_4\) spannen also kein 3-dimensionales Volumen auf. Das heißt, sie sind linear abhängig, und liegen in einer Ebene. Die vier Vektoren bilden daher kein Erzeugendensystem des \(\mathbb R^3\).

Answer 2

Du solltest wissen, das maximal 3 Vektoren der R³ linear unabhängig sein können. Vier Vektoren MÜSSEN linear abhängig sein.

Probiere jetzt die Vektoren in die Zeilenstufenform zu bringen

[1, 2, 3]
[3, 2, 1]
[1, 1, 1]
[0, 1, 2]

II - 3*I ; III - I

[1, 2, 3]
[0, -4, -8]
[0, -1, -2]
[0, 1, 2]

Wir sehen das der III und IV Vektor linear abhängig zum zweiten sind. Damit haben wir nur 2 linear unabhängige Vektoren und die Vektoren sind kein Erzeugendensystem des R³.

Comments

Warum prüft man hier nach der linearen Unabhängigkeit? Ich dachte ein Erzeugendensystem muss nicht unbedingt linear unabhängig sein, das war doch nur bei der Basis ein Kriterium oder nicht?

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Wenn drei Vektoren linear unabhängig sind können sie ein Erzeugendensystem des R3 sein. Sind sie abhängig können sie kein Erzeugendensystem sein.