Gaussche Summenformel: Wie kommt der Dozent auf x1 = 0?

Question

Text erkannt:

Für \( \lambda=3 \) ergibt sich nach Anwendung des Gauß-Algorithmus'
\( A-3 I=\left(\begin{array}{ccc} -2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right) \rightsquigarrow\left(\begin{array}{ccc} -2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \cdot X_{1}=-\frac{1}{2} x_{2} \quad(2) \)
Aus der ersten Gleichung folgt unmittelbar \( x_{1}=0 \). Setzen wir \( x_{2}=t \in \mathbb{R} \), folgt durch Einsetzes die zweite Gleichung \( x_{3}=-t \). Also
\( \operatorname{Eig}_{A}(3)=\left\{t\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \mid t \in \mathbb{R}\right\}=\left\langle\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)\right\rangle . \)

Answer 1

Aloha :)

Nach Anwendung des Gauß-Algorithmus lese ich folgende Gleichungen ab:$$-2x_1-x_2=0\quad;\quad -x_2-x_3=0$$Die kannst du umformen zu$$x_1=-\frac12x_2\quad;\quad x_3=-x_2$$und damit alle Lösungen der homogenen Gleichung angeben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac12x_2\\x_2\\-x_2\end{pmatrix}=-\frac{x_2}{2}\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$$

Der Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda=3\) lautet daher \(\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\)

Die Lösung von deinem Dozent ist falsch.

Comments

Vielen Dank für deinen Input!

Answer 2

Ich kann die Rechnung nicht nachvollziehen. Wenn man [0, 1, -1] als Eigenvektor nimmt und die Matrix A mit diesem Vektor multipliziert bekommt man auch kein Vielfaches dieses Vektors.

Meiner Meinung nach sollte [1, -2, 2] der Eigenvektor zum Eigenwert 3 sein.

[1, -1, 0; 0, 2, -1; 0, -1, 2]·[1; -2; 2] = 3·[1; -2; 2] = [3; -6; 6]

Comments

Hi die Ausgangsmatrix war folgende:

Text erkannt:

\( A=\left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & 1 \\ -2 & 7 & -2 \\ -1 & 2 & 2\end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{R}) \)

Ich habe verstanden wie man auf die Stufenform kommt.

Aber wie der Dozent von der Stufenform nun auf das Erzeugendensystem geschlossen hat ist leider völlig unverständlich für mich

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Das kann nicht sein. Denn der Dozent zieht 3 mal die Einheitsmatrix ab. Damit müsste

A = [1, -1, 0; 0, 2, -1; 0, -1, 2]

die Ausgangsmatrix gewesen sein. Bei Deine neuen Ausgangsmatrix müsste folgende Matrix dann dort stehen:

A - 3*I = [1, -2, 1; -2, 4, -2; -1, 2, -1]

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Dankeschön! Ich habe erstmal nicht gewagt seine Antwot anzuzweifeln aber du hast recht!