Sei A = {(x,y) ∈ ℝ2 | 0 < y < 1/ \sqrt{2} , y < x < \sqrt{1-x2} } Integral

Question

Aufgabe:

Sei A = {(x,y) ∈ ℝ² | 0 < y < 1/\( \sqrt{2} \), y < x < \( \sqrt{1-x²} \) }. Berechnen Sie das Integral

\( \int\limits_{A}^{} \) (x(1-y)) d(x,y)

Problem/Ansatz:

Wie löse ich dieses Integral?

Comments

Ich finde die Beschreibung von A und zwar die Definitio der Einschränkung für x ungewöhnlich und würde mal mit dem Original vergleichen.

Answer 1

\( \int\limits_{A}x(1-y)\ \mathrm{d}(x,y)=\int\limits_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\int\limits_{y}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}x(1-y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) 

Comments

So weit kam ich schon, mein Problem lag beim Integrieren selbst.

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Dann \(\int\limits_{y}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}x(1-y)\ \mathrm{d}x\) berechnen.

So weit kam ich schon,

Um solche Sachen mitzuteilen ist der Abschnitt "Problem/Ansatz" ind der Frageschablone vorgesehen.

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Ok. Kannst du mir beim Integrieren weiterhelfen?

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Wie würderst du denn

        \(\int\limits_{13}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}x\cdot(1-13)\ \mathrm{d}x\)

berechnen?

Das Integral \(\int\limits_{y}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}x(1-y)\ \mathrm{d}x\) wird genauso berechnet, außer dass du halt die \(13 \) durch ein \(y\) ersetzt.

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Also \( \frac{x^2}{x} \) * (1-y) * x ?

Das * x am Ende kommt zustande, da ich die 1 in der Klammer auch nach x integriere, oder?

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Also \( \frac{x^2}{x} \) * (1-y) * x ?

Die Funktion

        \(f(x) = x\cdot(1-13)\)

wird mit der Faktorregel aufgeleitet zu

        \(F(x) = \frac{1}{2}x^2\cdot(1-13)\).

Die Funktion

      \(f(x) = x\cdot(1-y)\)

wird mit der Faktorregel aufgeleitet zu

      \(F(x) = \frac{1}{2}x^2\cdot(1-y)\).

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Danke, ich habe hier in einer anderen Frage noch eine Integralaufgabe mit 3 Variablen gestellt, bei der wiederum war am Ende noch ein x multipliziert worden, ich dachte, das kommt wegen der 1 in der Klammer (beim integrieren nach x). Das verwirrt mich jetzt.

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Wenn ich wüsste, um welche Frage es geht, dann könnte ich dir den Unterschied erklären.

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Dankeschön, das ist lieb. Es geht um folgende Frage:

https://www.mathelounge.de/952781/bestimmen-sie-das-integral-int-q-c2-y2-1-z2-siny-zex-d-x-y-z

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Der Term

        \(x^2+(y^2+1)z^2\sin y+ze^x\)

ist eine Summe. Also wird er mit der Summenregel integriert. Die Summenregel besagt, dass die Summe aufgeleitet wird indem jeder Summand aufgeleitet wird und die Stammfunktionen der einzelnen Summanden dann addiert werden.

Der Term

        \(x\cdot(1-y)\)

ist ein Produkt aus einem variablen Faktor \(x\) und einem konstanten Faktor \(1-y\). Also wird mit der Faktorregel integriert. Die Faktorregel besagt, dass das Produkt aufgeleitet wird indem der variable Faktor aufgeleitet wird und dann mit dem konstante Faktor multipliziert wird.

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Aber bem ersten Term.

Da ist doch im mittleren Abschnitt kein x enthalten.

Also integriere ich x^2 = 1/3x^3. Dann das + ze^x bleibt integriert ze^x.

Und dann gucke ich (y^2+1)z^2 sin* y an.

Da greift also schonmal nicht die Faktorregel, wenn ich nach x integriere.

Also greift die Summenregel? also integriere ich die +1 in der Klammer (?) zu einem x. wieso aber, wird die jetzt ausgerechnet außerhalb der klammer dranmultipliziert und der restliche Teil bleibt erhalten? Wieso wird es nicht in der Klammer zu einem x? Das verstehe ich nicht.

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Oder kommt die * x woanders her? Weil da ja quasi stehen würde: Der mittlere Summand mal 1. Und 1 integriert wäre x. Also mal x. Aber dann müsste x * (und der mittlere Summand in klammern), oder nicht?

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Da ist doch im mittleren Abschnitt kein x enthalten.

Das heißt die Funktion

        \(f(x) = (y^2+1)z^2\sin y\)

ist konstant. Weißt du wie man die Stammfunktion von konstanten Funktionen wie zum Beispiel

    \(g(x) = 5\)

oder

    \(h(x) = \frac{355}{113}\)

oder

    \(i(x) = \pi\)

oder

    \(j(x) = c\)

bestimmt?

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Ja, man hängt nen x dran!

Dankeschön!

Aber was ist mit der +1 in der klammer? Wieso wird z.B. die +1 nicht auch noch integriert?

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Wieso wird z.B. die +1 nicht auch noch integriert?

Weil es keine Regel gibt, die verlangt, dass das \(+1\) integriert wird.

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Ok, dankeschön!

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Aber die Grenzen sind doch für y: 0 < y < 1/sqrt(2) und für x: y < x < sqrt(1-x^2)

sqrt() meint Wurzel von innerer Klammer.