Anwendung folgender Formel:
Das ist die Formel zur Berechnung des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene.
\( \begin{aligned} d &=\frac{|\overrightarrow{P Q} \cdot \vec{R}|}{|\vec{n}|} \\ &=\frac{\mid \overrightarrow{P Q} \cdot \overrightarrow{(\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}) \mid}}{|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|} \\ &=\frac{|\overrightarrow{A Q} \cdot(\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C})|}{\mid A B} \times \vec{A} \mid \end{aligned} \)
Im Zähler wird das Spatprodukt gebildet bzw. das Volumen errechnet , richtig? Der Punkt P ist ein beliebiger Punkt aus der Ebene, richtig?
Im Nenner wird das Vektorprodukt/Kreuzprodukt gebildet und der Betrag von diesem Vektorprodukt ist der Flächeninhalt des Parallelogramms.
Also heißt die Formel erstmal nichts anderes als Volumen / Flächeninhalt
Ich habe die Formel auf folgende Übungsaufgabe angewendet und kriege nicht die richtige Lösung raus:
Q = -3 | 1 | 1
A = 2 | 2 | -1
B = 3 | 1 | 1
C = 2 | 4 | 0
AB x AC = ( -5 -1 2 ) = n
AQ = (-3 1 1 ) - ( 2 2 -1) = (-5 -1 2)
n * AQ = √30
| AB x AC | = √30
d = 1 ??
Als Lösung kommt √30 raus. Aber was ist falsch? Im Nenner soll anscheinend eine 1 stehen, aber | AB x AC | != 1 ??
