Aloha :)
Wir überlegen uns einen Ortsvektor \(\vec r\), der das beschriebene Volumen \(V\) abstatet. Parallel zur xy-Ebene finden wir einen Kreis mit Mittelpunkt \((2|1)\) und Radius \(1\):$$\vec r=\begin{pmatrix}2+r\,\cos\varphi\\1+r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[-(1+r\sin\varphi)\;;\;2+r\cos\varphi]$$Das Volumenelement \(dV=dx\,dy\,dz\) müssen wir durch die Variablen \(r,\varphi,z\) ausdrücken:
$$dV=\begin{vmatrix}\frac{\partial r_x}{\partial r} & \frac{\partial r_x}{\partial \varphi} & \frac{\partial r_x}{\partial z}\\[1ex]\frac{\partial r_y}{\partial r} & \frac{\partial r_y}{\partial \varphi} & \frac{\partial r_y}{\partial z}\\[1ex]\frac{\partial r_z}{\partial r} & \frac{\partial r_z}{\partial \varphi} & \frac{\partial r_z}{\partial z}\end{vmatrix}\,dr\,d\varphi\,dz=\begin{vmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi & 0\\[1ex]\sin\varphi & r\cos\varphi & 0\\[1ex]0 & 0 & 1\end{vmatrix}\,dr\,d\varphi\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz$$
Das gesuchte Volumen lautet daher:$$V=\int\limits_{r=0}^1\;\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\,\int\limits_{z=-(1+r\sin\varphi)}^{2+r\cos\varphi}r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_{r=0}^1\;\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}r\left(2+r\cos\varphi+1+r\sin\varphi\right)\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{V}=\int\limits_{r=0}^1\left[r\left(3\varphi+r\sin\varphi-r\cos\varphi\right)\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\,dr=\int\limits_{r=0}^16\pi r\,dr=\left[3\pi r^2\right]_{r=0}^1=3\pi$$
