Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme auf geeigneten Intervallen

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme auf geeigneten Intervallen.
(i) \( u^{\prime}(t)=\frac{1+u(t)^{2}}{\left(1+t^{2}\right) u(t)}, \quad u(1)=4 \).
(ii) \( u^{\prime}(t)=\mathrm{e}^{t+1-u(t)-\mathrm{e}^{u(t)}}, \quad u(0)=0 \).
(iii) \( u^{\prime}(t)=\left(1+\frac{u(t)}{t}\right)^{2}-\frac{u(t)}{t}, \quad u(1)=1 \).

Problem/Ansatz:

Finde keine Lösung/Ansatz.

Answer 1

Hallo,

(i) Trennung der Variablen

\( u^{\prime}=\frac{1+u^{2}}{\left(1+t^{2}\right) u} \)

du/dt= (1+u^2)/( (1+t^2) u)

(u du)/(1+u^2)= dt/(1+t^2)

ln(u^2+1) /2 =arctan(t)+C |*2

ln(u^2+1) =2arctan(t)+2C | e hoch

u^2+1 = e^(2arctan(t)+2C) |-1

u^2 = e^(2arctan(t)+2C) -1

u= ± √ (e^(2arctan(t)+2C) -1) ; e^(2C)= =C₁

u= ± √ ( C₁e^(2arctan(t)) -1

AWB: u(1)=4

4= ± √ ( (C₁e^(2arctan(1)) -1) ->neg. Lösung scheidet wegen der AWB aus

arctan(1) =π/4

4=  √ ( (C1e^(π/2) -1) |(..)^2

16=  C₁e^(π/2) -1 |+1

17=  C₁e^(π/2)

C₁= 17/(e^(π/2)

----->

u= √ ( C₁e^(2arctan(t)) -1

Lösung:

\( u(t)=\sqrt{17 e^{2 \tan ^{-1}(t)-\pi / 2}-1} \)

(ii) Trennung der Variablen

vorher die rechte Seite der DGL umformen, Anteile mit t und u getrennt schreiben

(iii) Substitution z= u(t)/t

u= z*t

u'= z+z' *t

in die DGL einsetzen:

z+z' *t=(1+z)^2 -z

z+z' *t= 1 +2z +z^2 -z

z+z' *t= 1 +z +z^2  | -z

z' *t= 1 +z^2

dz/dt *t= 1 +z^2

dz/(1 +z^2) = dt/t ---->Trennung der Variablen

arctan(z) = ln|t|+C |tan(..)auf beiden Seiten nehmen

z= tan( ln|t|+C)

Resubstitution : z= u/t

u/t =tan( ln|t|+C)

u =t *tan( ln|t|+C)

AWB u(1)=1 einsetzen:

1 =t *tan( ln|1|+C) ->C=π/4

Lösung:

u =t *tan( ln|t|+π/4)